Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 3}}{2 x + 1}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}}{2 + \frac{1}{x}}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}}{2 + \frac{1}{x}}$

Étape 2.2.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{3}{x^{2}}}}{2 + \frac{1}{x}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 2.4

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 2.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 2.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 2.7

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 3 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{1 + 3 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{1 + 3 \cdot 0}}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 3 \cdot 0}}{2 + 0}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0}}{2 + 0}$

Étape 6.1.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\sqrt{1}}{2 + 0}$

Étape 6.1.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1}{2 + 0}$

Étape 6.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{2}$

Forme décimale :

$0.5$