Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{2}{\sqrt[3]{3 x}} d x$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{3 x}} d x$

Étape 2

Laissez $u = 3 x$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Laissez $u = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 2.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 2.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Étape 3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 3} d u$

Étape 3.2

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt[3]{u}$ .

$2 \int \frac{1}{3 \sqrt[3]{u}} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u)$

Étape 5

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $2$ .

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Étape 5.2

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{u}$ comme $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Étape 5.2.2

Retirez $u^{\frac{1}{3}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{2}{3} \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Étape 5.2.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Étape 5.2.3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$\frac{2}{3} \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Étape 5.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{3} \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{3}}$ par rapport à $u$ est $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

Étape 7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Réécrivez $\frac{2}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ comme $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 7.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 7.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6}{3 \cdot 2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 7.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6}{6} u^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 7.2.4

Annulez le facteur commun de $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6}{6} u^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 7.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$1 u^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 7.2.5

Multipliez $u^{\frac{2}{3}}$ par $1$ .

$u^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

${(3 x)}^{\frac{2}{3}} + C$