Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{1 - x}$

Étape 1

Écrivez $\sqrt{1 - x}$ comme une fonction.

$f (x) = \sqrt{1 - x}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \sqrt{1 - x} d x$

Étape 4

Laissez $u = 1 - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 1 - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 4.1.2

Différenciez.

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Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - 1$

Étape 4.1.4

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- 1$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int - \sqrt{u} d u$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \sqrt{u} d u$

Étape 6

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 8

Réécrivez $- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ comme $- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x$ .

$- \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \sqrt{1 - x}$ .

$F (x) =$ $- \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} + C$