Calcul infinitésimal Exemples

$y = \cos (x + \frac{π}{4})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = x + \frac{π}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + \frac{π}{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + \frac{π}{4}$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

Étape 1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \frac{π}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Étape 1.2.3

Comme $\frac{π}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{π}{4}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) (1 + 0)$

Étape 1.2.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) \cdot 1$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4})$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x + \frac{π}{4})$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x + \frac{π}{4})]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \sin (x + \frac{π}{4})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x + \frac{π}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + \frac{π}{4}$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{4}))$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - (\cos (u) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{4}))$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + \frac{π}{4}$ .

$f'' (x) = - (\cos (x + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{4}))$

Étape 2.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \frac{π}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ .

$f'' (x) = - \cos (x + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{4}))$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \cos (x + \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} (\frac{π}{4}))$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{π}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{π}{4}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \cos (x + \frac{π}{4}) (1 + 0)$

Étape 2.3.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = - \cos (x + \frac{π}{4}) \cdot 1$

Étape 2.3.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - \cos (x + \frac{π}{4})$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $- \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $- \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ par $- 1$ .

$\frac{- \sin (x + \frac{π}{4})}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\sin (x + \frac{π}{4})}{1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 4.2.2

Divisez $\sin (x + \frac{π}{4})$ par $1$ .

$\sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{0}{- 1}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$\sin (x + \frac{π}{4}) = 0$

Étape 5

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x + \frac{π}{4} = \arcsin (0)$

Étape 6

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x + \frac{π}{4} = 0$

Étape 7

Soustrayez $\frac{π}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$x = - \frac{π}{4}$

Étape 8

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x + \frac{π}{4} = π - 0$

Étape 9

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x + \frac{π}{4} = π$

Étape 9.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Soustrayez $\frac{π}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$x = π - \frac{π}{4}$

Étape 9.2.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 9.2.3

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 9.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 9.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.5.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 9.2.5.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 10

La solution de l’équation est $x + \frac{π}{4} = 0$ .

$x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{π}{4}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \cos ((- \frac{π}{4}) + \frac{π}{4})$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \cos (\frac{- π + π}{4})$

Étape 12.2

Additionnez $- π$ et $π$ .

$- \cos (\frac{0}{4})$

Étape 12.3

Divisez $0$ par $4$ .

$- \cos (0)$

Étape 12.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 12.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 13

$x = - \frac{π}{4}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{π}{4}$ est un maximum local

Étape 14

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{π}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{π}{4}$ dans l’expression.

$f (- \frac{π}{4}) = \cos ((- \frac{π}{4}) + \frac{π}{4})$

Étape 14.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{π}{4}) = \cos (\frac{- π + π}{4})$

Étape 14.2.2

Additionnez $- π$ et $π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \cos (\frac{0}{4})$

Étape 14.2.3

Divisez $0$ par $4$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \cos (0)$

Étape 14.2.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 1$

Étape 14.2.5

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 15

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{3 π}{4}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \cos ((\frac{3 π}{4}) + \frac{π}{4})$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \cos (\frac{3 π + π}{4})$

Étape 16.2

Additionnez $3 π$ et $π$ .

$- \cos (\frac{4 π}{4})$

Étape 16.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.3.1

Annulez le facteur commun.

$- \cos (\frac{4 π}{4})$

Étape 16.3.2

Divisez $π$ par $1$ .

$- \cos (π)$

Étape 16.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- - \cos (0)$

Étape 16.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- (- 1 \cdot 1)$

Étape 16.6

Multipliez $- (- 1 \cdot 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- - 1$

Étape 16.6.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1$

Étape 17

$x = \frac{3 π}{4}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{3 π}{4}$ est un minimum local

Étape 18

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{3 π}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{4}) = \cos ((\frac{3 π}{4}) + \frac{π}{4})$

Étape 18.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3 π}{4}) = \cos (\frac{3 π + π}{4})$

Étape 18.2.2

Additionnez $3 π$ et $π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \cos (\frac{4 π}{4})$

Étape 18.2.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{4}) = \cos (\frac{4 π}{4})$

Étape 18.2.3.2

Divisez $π$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \cos (π)$

Étape 18.2.4

$f (\frac{3 π}{4}) = - \cos (0)$

Étape 18.2.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1 \cdot 1$

Étape 18.2.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1$

Étape 18.2.7

La réponse finale est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 19

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \cos (x + \frac{π}{4})$ .

$(- \frac{π}{4}, 1)$ est un maximum local

$(\frac{3 π}{4}, - 1)$ est un minimum local

Étape 20