Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 4} \frac{x^{3} \sqrt{x} - 128}{x - 4}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 4} x^{3} \sqrt{x} - 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x^{3} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Étape 1.1.2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x^{3} \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Étape 1.1.2.3

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{3} \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Étape 1.1.2.4

Placez la limite sous le radical.

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{3} \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Étape 1.1.2.5

Évaluez la limite de $128$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{3} \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Étape 1.1.2.6

Évaluez les limites en insérant $4$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\frac{4^{3} \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Étape 1.1.2.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\frac{4^{3} \cdot \sqrt{4} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Étape 1.1.2.7

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.7.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.7.1.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{64 \cdot \sqrt{4} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Étape 1.1.2.7.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{64 \cdot \sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Étape 1.1.2.7.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{64 \cdot 2 - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Étape 1.1.2.7.1.4

Multipliez $64$ par $2$ .

$\frac{128 - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Étape 1.1.2.7.1.5

Multipliez $- 1$ par $128$ .

$\frac{128 - 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Étape 1.1.2.7.2

Soustrayez $128$ de $128$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}$

Étape 1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 4} \frac{x^{3} \sqrt{x} - 128}{x - 4} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} \sqrt{x} - 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} \sqrt{x} - 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} \sqrt{x} - 128$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 128]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{3} \sqrt{x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Étape 1.3.3.2

Multipliez $x^{3}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3 + \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Étape 1.3.3.2.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Étape 1.3.3.2.3

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Étape 1.3.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot 2 + 1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Étape 1.3.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.2.5.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{6 + 1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Étape 1.3.3.2.5.2

Additionnez $6$ et $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Étape 1.3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{7}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Étape 1.3.3.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Étape 1.3.3.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Étape 1.3.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Étape 1.3.3.7

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Étape 1.3.3.7.2

Soustrayez $2$ de $7$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Étape 1.3.4

Comme $- 128$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 128$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Étape 1.3.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.1

Additionnez $\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}$ et $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Étape 1.3.5.2

Associez $\frac{7}{2}$ et $x^{\frac{5}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}}{1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 1.3.8

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}}{1 + 0}$

Étape 1.3.9

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}}{1}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 4} \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2} \cdot 1$

Étape 1.5

Multipliez $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ par $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$

Étape 2

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Placez le terme $\frac{7}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{7}{2} lim_{x \to 4} x^{\frac{5}{2}}$

Étape 2.2

Déplacez l’exposant $\frac{5}{2}$ de $x^{\frac{5}{2}}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{7}{2} {(lim_{x \to 4} x)}^{\frac{5}{2}}$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\frac{7}{2} \cdot 4^{\frac{5}{2}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{7}{2} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{2} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7}{2} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}$

Étape 4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{7}{2} \cdot 2^{5}$

Étape 4.4

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$\frac{7}{2} \cdot 32$

Étape 4.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Factorisez $2$ à partir de $32$ .

$\frac{7}{2} \cdot (2 (16))$

Étape 4.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{7}{2} \cdot (2 \cdot 16)$

Étape 4.5.3

Réécrivez l’expression.

$7 \cdot 16$

Étape 4.6

Multipliez $7$ par $16$ .

$112$