Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} 5^{\frac{3 x}{2}} d x$

Étape 1

Laissez $u = \frac{3 x}{2}$ . Alors $d u = \frac{3}{2} d x$ , donc $\frac{2}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \frac{3 x}{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\frac{3 x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

Étape 1.1.2

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $1$ .

$\frac{3}{2}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \frac{3 x}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 0}{2}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 1.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $3 \cdot 0$ .

$u_{lower} = \frac{2 (3 \cdot 0)}{2}$

Étape 1.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$u_{lower} = \frac{2 (3 \cdot 0)}{2 (1)}$

Étape 1.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$u_{lower} = \frac{2 (3 \cdot 0)}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 0}{1}$

Étape 1.3.1.2.4

Divisez $3 \cdot 0$ par $1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Étape 1.3.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \frac{3 x}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{3 \cdot 1}{2}$

Étape 1.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$u_{upper} = \frac{3}{2}$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{3}{2}$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{3}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} \cdot (1 (\frac{2}{3})) d u$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} \cdot \frac{2}{3} d u$

Étape 2.3

Associez $5^{u}$ et $\frac{2}{3}$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} \frac{5^{u} \cdot 2}{3} d u$

Étape 2.4

Déplacez $2$ à gauche de $5^{u}$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} \frac{2 \cdot 5^{u}}{3} d u$

Étape 3

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{2}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{3} \int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} d u$

Étape 4

L’intégrale de $5^{u}$ par rapport à $u$ est $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ .

$\frac{2}{3} \frac{5^{u}}{\ln (5)}]_{0}^{\frac{3}{2}}$

Étape 5

Associez $\frac{2}{3}$ et $\frac{5^{u}}{\ln (5)}]_{0}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (\frac{5^{u}}{\ln (5)}]_{0}^{\frac{3}{2}})}{3}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ sur $\frac{3}{2}$ et sur $0$ .

$\frac{2 ((\frac{5^{\frac{3}{2}}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)})}{3}$

Étape 6.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{2 (\frac{5^{\frac{3}{2}}}{\ln (5)} - \frac{1}{\ln (5)})}{3}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 \frac{5^{\frac{3}{2}} - 1}{\ln (5)}}{3}$

Étape 7.2

Associez $2$ et $\frac{5^{\frac{3}{2}} - 1}{\ln (5)}$ .

$\frac{\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{\ln (5)}}{3}$

Étape 7.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{\ln (5)} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 7.4

Associez.

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1) \cdot 1}{\ln (5) \cdot 3}$

Étape 7.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{\ln (5) \cdot 3}$

Étape 7.6

Déplacez $3$ à gauche de $\ln (5)$ .

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{3 \ln (5)}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{3 \ln (5)}$

Forme décimale :

$4.21693387 \dots$

Étape 9