Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{{(3 + x)}^{4} - 81}{6 x}$

Étape 1

Placez le terme $\frac{1}{6}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{{(3 + x)}^{4} - 81}{x}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(3 + x)}^{4} - 81}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(3 + x)}^{4} - lim_{x \to 0} 81}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.1.2

Déplacez l’exposant $4$ de ${(3 + x)}^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 3 + x)}^{4} - lim_{x \to 0} 81}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 3 + lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 81}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.1.4

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{{(3 + lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 81}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.1.5

Évaluez la limite de $81$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{{(3 + lim_{x \to 0} x)}^{4} - 1 \cdot 81}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{{(3 + 0)}^{4} - 1 \cdot 81}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.3.1.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3^{4} - 1 \cdot 81}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3.1.2

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{81 - 1 \cdot 81}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $81$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{81 - 81}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3.2

Soustrayez $81$ de $81$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{{(3 + x)}^{4} - 81}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{4} - 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{4} - 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${(3 + x)}^{4} - 81$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 81]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{4}]$ .

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Étape 2.3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = 3 + x$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 + x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 + x] + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 + x] + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 + x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 + x] + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.6

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4

Comme $- 81$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 81$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.5

Additionnez $4 {(3 + x)}^{3}$ et $0$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3}}{1}$

Étape 2.4

Divisez $4 {(3 + x)}^{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} 4 {(3 + x)}^{3}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot 4 lim_{x \to 0} {(3 + x)}^{3}$

Étape 3.2

Déplacez l’exposant $3$ de ${(3 + x)}^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{6} \cdot 4 {(lim_{x \to 0} 3 + x)}^{3}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot 4 {(lim_{x \to 0} 3 + lim_{x \to 0} x)}^{3}$

Étape 3.4

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot 4 {(3 + lim_{x \to 0} x)}^{3}$

Étape 4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot 4 {(3 + 0)}^{3}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{1}{2 (3)} \cdot 4 {(3 + 0)}^{3}$

Étape 5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 2) {(3 + 0)}^{3}$

Étape 5.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 2) {(3 + 0)}^{3}$

Étape 5.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} \cdot 2 {(3 + 0)}^{3}$

Étape 5.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $2$ .

$\frac{2}{3} {(3 + 0)}^{3}$

Étape 5.3

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot 3^{3}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3^{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2})$

Étape 5.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2})$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot 3^{2}$

Étape 5.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$2 \cdot 9$

Étape 5.6

Multipliez $2$ par $9$ .

$18$