Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{x^{2} - 1}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 1$ .

$e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$e^{x^{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{x^{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 1.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{x^{2} - 1} (2 x + 0)$

Étape 1.2.4

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$e^{x^{2} - 1} (2 x)$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Réorganisez les facteurs de $e^{x^{2} - 1} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2} - 1} x$

Étape 1.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{x^{2} - 1} x$ .

$2 x e^{x^{2} - 1}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x e^{x^{2} - 1}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2} - 1}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x e^{x^{2} - 1})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x^{2} - 1}$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 1}) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 2 (x (e^{x^{2} - 1} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (x (e^{x^{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.4.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 2 (x (e^{x^{2} - 1} (2 x + 0)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.4.4

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 2 (x (e^{x^{2} - 1} (2 x)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (e^{x^{2} - 1} \cdot (2)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (e^{x^{2} - 1} \cdot (2)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 2 (x^{1 + 1} (e^{x^{2} - 1} \cdot (2)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (e^{x^{2} - 1} \cdot (2)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.8.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{x^{2} - 1}$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2} - 1}) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (2 e^{x^{2} - 1}) + e^{x^{2} - 1} \cdot 1)$

Étape 2.10

Multipliez $e^{x^{2} - 1}$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (2 e^{x^{2} - 1}) + e^{x^{2} - 1})$

Étape 2.11

Simplifiez

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Étape 2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 2 (x^{2} (2 e^{x^{2} - 1})) + 2 e^{x^{2} - 1}$

Étape 2.11.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{x^{2} - 1} + 2 e^{x^{2} - 1}$

Étape 2.11.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 4 e^{x^{2} - 1} x^{2} + 2 e^{x^{2} - 1}$

Étape 2.11.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $4 e^{x^{2} - 1} x^{2} + 2 e^{x^{2} - 1}$ .

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{x^{2} - 1} + 2 e^{x^{2} - 1}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$2 x e^{x^{2} - 1} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Étape 4.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 4.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 1$ .

$e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 4.1.2

Différenciez.

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Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$e^{x^{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{x^{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 4.1.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{x^{2} - 1} (2 x + 0)$

Étape 4.1.2.4

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$e^{x^{2} - 1} (2 x)$

Étape 4.1.3

Simplifiez

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Étape 4.1.3.1

Réorganisez les facteurs de $e^{x^{2} - 1} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2} - 1} x$

Étape 4.1.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{x^{2} - 1} x$ .

$f' (x) = 2 x e^{x^{2} - 1}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x e^{x^{2} - 1}$ .

$2 x e^{x^{2} - 1}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x e^{x^{2} - 1} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x e^{x^{2} - 1} = 0$

Étape 5.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$e^{x^{2} - 1} = 0$

Étape 5.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.4

Définissez $e^{x^{2} - 1}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $e^{x^{2} - 1}$ égal à $0$ .

$e^{x^{2} - 1} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $e^{x^{2} - 1} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x^{2} - 1}) = \ln (0)$

Étape 5.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 5.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x^{2} - 1} = 0$

Aucune solution

Étape 5.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x e^{x^{2} - 1} = 0$ vraie.

$x = 0$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$4 {(0)}^{2} e^{{(0)}^{2} - 1} + 2 e^{{(0)}^{2} - 1}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 \cdot 0 e^{{(0)}^{2} - 1} + 2 e^{{(0)}^{2} - 1}$

Étape 9.1.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$0 e^{{(0)}^{2} - 1} + 2 e^{{(0)}^{2} - 1}$

Étape 9.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 e^{0 - 1} + 2 e^{{(0)}^{2} - 1}$

Étape 9.1.4

Soustrayez $1$ de $0$ .

$0 e^{- 1} + 2 e^{{(0)}^{2} - 1}$

Étape 9.1.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 \frac{1}{e} + 2 e^{{(0)}^{2} - 1}$

Étape 9.1.6

Multipliez $0$ par $\frac{1}{e}$ .

$0 + 2 e^{{(0)}^{2} - 1}$

Étape 9.1.7

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 2 e^{0 - 1}$

Étape 9.1.8

Soustrayez $1$ de $0$ .

$0 + 2 e^{- 1}$

Étape 9.1.9

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 2 \frac{1}{e}$

Étape 9.1.10

Associez $2$ et $\frac{1}{e}$ .

$0 + \frac{2}{e}$

Étape 9.2

Additionnez $0$ et $\frac{2}{e}$ .

$\frac{2}{e}$

Étape 10

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = e^{{(0)}^{2} - 1}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = e^{0 - 1}$

Étape 11.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f (0) = e^{- 1}$

Étape 11.2.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (0) = \frac{1}{e}$

Étape 11.2.4

La réponse finale est $\frac{1}{e}$ .

$y = \frac{1}{e}$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = e^{x^{2} - 1}$ .

$(0, \frac{1}{e})$ est un minimum local

Étape 13