Calcul infinitésimal Exemples

$3 x y - x^{3} = 5$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (3 x y - x^{3}) = \frac{d}{d x} (5)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x y - x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x y$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 2.2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$3 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 (x y' + y) - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 (x y' + y) - (3 x^{2})$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$3 (x y' + y) - 3 x^{2}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (x y') + 3 y - 3 x^{2}$

Étape 2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 3 x^{2} + 3 x y' + 3 y$

Étape 3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- 3 x^{2} + 3 x y' + 3 y = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Ajoutez $3 x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x y' + 3 y = 3 x^{2}$

Étape 5.1.2

Soustrayez $3 y$ des deux côtés de l’équation.

$3 x y' = 3 x^{2} - 3 y$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $3 x y' = 3 x^{2} - 3 y$ par $3 x$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x y' = 3 x^{2} - 3 y$ par $3 x$ .

$\frac{3 x y'}{3 x} = \frac{3 x^{2}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x y'}{3 x} = \frac{3 x^{2}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Étape 5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y'}{x} = \frac{3 x^{2}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y'}{x} = \frac{3 x^{2}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Étape 5.2.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Étape 5.2.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{x^{2}}{x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Étape 5.2.3.1.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 5.2.3.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$y' = \frac{x \cdot x}{x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Étape 5.2.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y' = \frac{x \cdot x}{x^{1}} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Étape 5.2.3.1.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$y' = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Étape 5.2.3.1.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Étape 5.2.3.1.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{x}{1} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Étape 5.2.3.1.2.2.5

Divisez $x$ par $1$ .

$y' = x + \frac{- 3 y}{3 x}$

Étape 5.2.3.1.3

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 5.2.3.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 y$ .

$y' = x + \frac{3 (- y)}{3 x}$

Étape 5.2.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$y' = x + \frac{3 (- y)}{3 (x)}$

Étape 5.2.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = x + \frac{3 (- y)}{3 x}$

Étape 5.2.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = x + \frac{- y}{x}$

Étape 5.2.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = x - \frac{y}{x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x - \frac{y}{x}$