Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - {(2 x)}^{2}}} d x$

Étape 1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - {(2 (x))}^{2}}} d x$

Étape 1.2

Appliquez la règle de produit à $2 (x)$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - (2^{2} x^{2})}} d x$

Étape 1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - (4 x^{2})}} d x$

Étape 1.4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Étape 1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int - \frac{1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Étape 2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x)$

Étape 4

Laissez $x = \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ est positif.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Étape 5

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Simplifiez $\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Étape 5.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Étape 5.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Étape 5.1.4

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 \cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Étape 5.1.5

Réécrivez $4 \cos^{2} (t)$ comme ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} \cos (t) d t$

Étape 5.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) (2 \cos (t))} \cos (t) d t$

Étape 5.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $\cos (t)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Factorisez $\cos (t)$ à partir de $\sin (t) (2 \cos (t))$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\cos (t) (\sin (t) \cdot (2))} \cos (t) d t$

Étape 5.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\cos (t) (\sin (t) \cdot (2))} \cos (t) d t$

Étape 5.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \cdot (2)} d t$

Étape 5.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sin (t)$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 \sin (t)} d t$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sin (t)} d t)$

Étape 7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Convertissez de $\frac{1}{\sin (t)}$ à $\csc (t)$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \csc (t) d t)$

Étape 7.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 4} \int \csc (t) d t$

Étape 7.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$- \frac{1}{8} \int \csc (t) d t$

Étape 8

L’intégrale de $\csc (t)$ par rapport à $t$ est $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$- \frac{1}{8} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

Étape 9

Simplifiez

$- \frac{1}{8} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (x)$ .

$- \frac{1}{8} \ln (| \csc (\arcsin (x)) - \cot (\arcsin (x)) |) + C$