Calcul infinitésimal Exemples

$y + x^{3} y - 5 x = 0$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y + x^{3} y - 5 x) = \frac{d}{d x} (0)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + x^{3} y - 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y' + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

$y' + x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y' + x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$y' + x^{3} y' + y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 2.3.4

Déplacez $3$ à gauche de $y$ .

$y' + x^{3} y' + 3 y x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y' + x^{3} y' + 3 y x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y' + x^{3} y' + 3 y x^{2} - 5 \cdot 1$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$y' + x^{3} y' + 3 y x^{2} - 5$

Étape 2.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{3} y' + 3 x^{2} y + y' - 5$

Étape 3

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x^{3} y' + 3 x^{2} y + y' - 5 = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Soustrayez $3 x^{2} y$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} y' + y' - 5 = - 3 x^{2} y$

Étape 5.1.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{3} y' + y' = - 3 x^{2} y + 5$

Étape 5.2

Factorisez $y'$ à partir de $x^{3} y' + y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $x^{3} y'$ .

$y' x^{3} + y' = - 3 x^{2} y + 5$

Étape 5.2.2

Élevez $y'$ à la puissance $1$ .

$y' x^{3} + y' = - 3 x^{2} y + 5$

Étape 5.2.3

Factorisez $y'$ à partir de ${y'}^{1}$ .

$y' x^{3} + y' \cdot 1 = - 3 x^{2} y + 5$

Étape 5.2.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' x^{3} + y' \cdot 1$ .

$y' (x^{3} + 1) = - 3 x^{2} y + 5$

Étape 5.3

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$y' (x^{3} + 1^{3}) = - 3 x^{2} y + 5$

Étape 5.4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$y' ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})) = - 3 x^{2} y + 5$

Étape 5.5

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y' ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})) = - 3 x^{2} y + 5$

Étape 5.5.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y' ((x + 1) (x^{2} - x + 1)) = - 3 x^{2} y + 5$

Étape 5.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$y' (x + 1) (x^{2} - x + 1) = - 3 x^{2} y + 5$

Étape 5.6

Divisez chaque terme dans $y' (x + 1) (x^{2} - x + 1) = - 3 x^{2} y + 5$ par $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1

Divisez chaque terme dans $y' (x + 1) (x^{2} - x + 1) = - 3 x^{2} y + 5$ par $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

$\frac{y' (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Étape 5.6.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.1

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Étape 5.6.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1} = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Étape 5.6.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{2} - x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1} = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Étape 5.6.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Étape 5.6.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$