Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} (1 - 8 v^{3} + 16 v^{7}) d v$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{0}^{1} 1 - 8 v^{3} + 16 v^{7} d v$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{1} d v + \int_{0}^{1} - 8 v^{3} d v + \int_{0}^{1} 16 v^{7} d v$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$v]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 8 v^{3} d v + \int_{0}^{1} 16 v^{7} d v$

Étape 4

Comme $- 8$ est constant par rapport à $v$ , placez $- 8$ en dehors de l’intégrale.

$v]_{0}^{1} - 8 \int_{0}^{1} v^{3} d v + \int_{0}^{1} 16 v^{7} d v$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $v^{3}$ par rapport à $v$ est $\frac{1}{4} v^{4}$ .

$v]_{0}^{1} - 8 (\frac{1}{4} v^{4}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 16 v^{7} d v$

Étape 6

Associez $\frac{1}{4}$ et $v^{4}$ .

$v]_{0}^{1} - 8 (\frac{v^{4}}{4}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 16 v^{7} d v$

Étape 7

Comme $16$ est constant par rapport à $v$ , placez $16$ en dehors de l’intégrale.

$v]_{0}^{1} - 8 (\frac{v^{4}}{4}]_{0}^{1}) + 16 \int_{0}^{1} v^{7} d v$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $v^{7}$ par rapport à $v$ est $\frac{1}{8} v^{8}$ .

$v]_{0}^{1} - 8 (\frac{v^{4}}{4}]_{0}^{1}) + 16 (\frac{1}{8} v^{8}]_{0}^{1})$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{8}$ et $v^{8}$ .

$v]_{0}^{1} - 8 (\frac{v^{4}}{4}]_{0}^{1}) + 16 (\frac{v^{8}}{8}]_{0}^{1})$

Étape 9.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Évaluez $v$ sur $1$ et sur $0$ .

$(1) + 0 - 8 (\frac{v^{4}}{4}]_{0}^{1}) + 16 (\frac{v^{8}}{8}]_{0}^{1})$

Étape 9.2.2

Évaluez $\frac{v^{4}}{4}$ sur $1$ et sur $0$ .

$1 + 0 - 8 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{v^{8}}{8}]_{0}^{1})$

Étape 9.2.3

Évaluez $\frac{v^{8}}{8}$ sur $1$ et sur $0$ .

$1 + 0 - 8 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Étape 9.2.4

Simplifiez

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Étape 9.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 - 8 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Étape 9.2.4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 8 (\frac{1}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Étape 9.2.4.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$1 - 8 (\frac{1}{4} - \frac{0}{4}) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Étape 9.2.4.4

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

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Étape 9.2.4.4.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$1 - 8 (\frac{1}{4} - \frac{4 (0)}{4}) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Étape 9.2.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.4.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$1 - 8 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Étape 9.2.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$1 - 8 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Étape 9.2.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$1 - 8 (\frac{1}{4} - \frac{0}{1}) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Étape 9.2.4.4.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$1 - 8 (\frac{1}{4} - 0) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Étape 9.2.4.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$1 - 8 (\frac{1}{4} + 0) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Étape 9.2.4.6

Additionnez $\frac{1}{4}$ et $0$ .

$1 - 8 (\frac{1}{4}) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Étape 9.2.4.7

Associez $- 8$ et $\frac{1}{4}$ .

$1 + \frac{- 8}{4} + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Étape 9.2.4.8

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $4$ .

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Étape 9.2.4.8.1

Factorisez $4$ à partir de $- 8$ .

$1 + \frac{4 \cdot - 2}{4} + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Étape 9.2.4.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.4.8.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$1 + \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)} + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Étape 9.2.4.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$1 + \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1} + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Étape 9.2.4.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$1 + \frac{- 2}{1} + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Étape 9.2.4.8.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$1 - 2 + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Étape 9.2.4.9

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- 1 + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Étape 9.2.4.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 1 + 16 (\frac{1}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Étape 9.2.4.11

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 1 + 16 (\frac{1}{8} - \frac{0}{8})$

Étape 9.2.4.12

Annulez le facteur commun à $0$ et $8$ .

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Étape 9.2.4.12.1

Factorisez $8$ à partir de $0$ .

$- 1 + 16 (\frac{1}{8} - \frac{8 (0)}{8})$

Étape 9.2.4.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.4.12.2.1

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$- 1 + 16 (\frac{1}{8} - \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1})$

Étape 9.2.4.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 1 + 16 (\frac{1}{8} - \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1})$

Étape 9.2.4.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 + 16 (\frac{1}{8} - \frac{0}{1})$

Étape 9.2.4.12.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- 1 + 16 (\frac{1}{8} - 0)$

Étape 9.2.4.13

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- 1 + 16 (\frac{1}{8} + 0)$

Étape 9.2.4.14

Additionnez $\frac{1}{8}$ et $0$ .

$- 1 + 16 (\frac{1}{8})$

Étape 9.2.4.15

Associez $16$ et $\frac{1}{8}$ .

$- 1 + \frac{16}{8}$

Étape 9.2.4.16

Annulez le facteur commun à $16$ et $8$ .

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Étape 9.2.4.16.1

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$- 1 + \frac{8 \cdot 2}{8}$

Étape 9.2.4.16.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.4.16.2.1

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$- 1 + \frac{8 \cdot 2}{8 (1)}$

Étape 9.2.4.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 1 + \frac{8 \cdot 2}{8 \cdot 1}$

Étape 9.2.4.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 + \frac{2}{1}$

Étape 9.2.4.16.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$- 1 + 2$

Étape 9.2.4.17

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$1$

Étape 10