Calcul infinitésimal Exemples

$- \frac{15}{16 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Comme $- \frac{15}{16}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{15}{16 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{15}{16} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{7}{2}}}]$ .

$- \frac{15}{16} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{7}{2}}}]$

Étape 1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{7}{2}}}$ comme ${({(x + 1)}^{\frac{7}{2}})}^{- 1}$ .

$- \frac{15}{16} \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{\frac{7}{2}})}^{- 1}]$

Étape 1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(x + 1)}^{\frac{7}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{15}{16} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{7}{2} \cdot - 1}]$

Étape 1.2.2.2

Multipliez $\frac{7}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 1.2.2.2.1

Associez $\frac{7}{2}$ et $- 1$ .

$- \frac{15}{16} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{7 \cdot - 1}{2}}]$

Étape 1.2.2.2.2

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$- \frac{15}{16} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{- 7}{2}}]$

Étape 1.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{15}{16} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- \frac{7}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{7}{2}}$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$- \frac{15}{16} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{7}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{7}{2}$ .

$- \frac{15}{16} (- \frac{7}{2} u^{- \frac{7}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$- \frac{15}{16} (- \frac{7}{2} {(x + 1)}^{- \frac{7}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{15}{16} (- \frac{7}{2} {(x + 1)}^{- \frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{15}{16} (- \frac{7}{2} {(x + 1)}^{- \frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{15}{16} (- \frac{7}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 7 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{15}{16} (- \frac{7}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 7 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $- 7$ .

$- \frac{15}{16} (- \frac{7}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 9}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 7

Associez les fractions.

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{15}{16} (- \frac{7}{2} {(x + 1)}^{- \frac{9}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 7.2

Associez ${(x + 1)}^{- \frac{9}{2}}$ et $\frac{7}{2}$ .

$- \frac{15}{16} (- \frac{{(x + 1)}^{- \frac{9}{2}} \cdot 7}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 7.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.3.1

Déplacez $7$ à gauche de ${(x + 1)}^{- \frac{9}{2}}$ .

$- \frac{15}{16} (- \frac{7 \cdot {(x + 1)}^{- \frac{9}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 7.3.2

Placez ${(x + 1)}^{- \frac{9}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{15}{16} (- \frac{7}{2 {(x + 1)}^{\frac{9}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 7.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{15}{16}) (\frac{7}{2 {(x + 1)}^{\frac{9}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 7.3.4

Multipliez $\frac{15}{16}$ par $1$ .

$\frac{15}{16} (\frac{7}{2 {(x + 1)}^{\frac{9}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 7.4

Multipliez $\frac{7}{2 {(x + 1)}^{\frac{9}{2}}}$ par $\frac{15}{16}$ .

$\frac{7 \cdot 15}{2 {(x + 1)}^{\frac{9}{2}} \cdot 16} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 7.5

Multipliez.

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Étape 7.5.1

Multipliez $7$ par $15$ .

$\frac{105}{2 {(x + 1)}^{\frac{9}{2}} \cdot 16} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 7.5.2

Multipliez $16$ par $2$ .

$\frac{105}{32 {(x + 1)}^{\frac{9}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{105}{32 {(x + 1)}^{\frac{9}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{105}{32 {(x + 1)}^{\frac{9}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 10

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{105}{32 {(x + 1)}^{\frac{9}{2}}} (1 + 0)$

Étape 11

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{105}{32 {(x + 1)}^{\frac{9}{2}}} \cdot 1$

Étape 11.2

Multipliez $\frac{105}{32 {(x + 1)}^{\frac{9}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{105}{32 {(x + 1)}^{\frac{9}{2}}}$