Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0^{+}} {\sinh (3 x)}^{x}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez ${\sinh (3 x)}^{x}$ comme $e^{\ln ({\sinh (3 x)}^{x})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({\sinh (3 x)}^{x})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({\sinh (3 x)}^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\sinh (3 x))}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\sinh (3 x))}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot lim_{x \to 0^{+}} \ln (\sinh (3 x))}$

Étape 2.3

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot \ln (lim_{x \to 0^{+}} \sinh (3 x))}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{0 \cdot \ln (lim_{x \to 0^{+}} \sinh (3 x))}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $\sinh (3 x)$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{0 \cdot \ln (\sinh (3 \cdot 0))}$

Étape 3.3

Multipliez $3$ par $0$ .

$e^{0 \cdot \ln (\sinh (0))}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez $0 \cdot \ln (\sinh (0))$ en déplaçant $0$ dans le logarithme.

$e^{\ln (\sinh^{0} (0))}$

Étape 4.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\sinh^{0} (0)$

Étape 4.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1$