Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{7 x - 9}}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt{7 x - 9}} d x$

Étape 3

Laissez $u = 7 x - 9$ . Alors $d u = 7 d x$ , donc $\frac{1}{7} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Laissez $u = 7 x - 9$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Différenciez $7 x - 9$ .

$\frac{d}{d x} [7 x - 9]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 3.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 3.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 3.1.3.3

Multipliez $7$ par $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 3.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.4.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$7 + 0$

Étape 3.1.4.2

Additionnez $7$ et $0$ .

$7$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{7} d u$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{u}}$ par $\frac{1}{7}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 7} d u$

Étape 4.2

Déplacez $7$ à gauche de $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{7 \sqrt{u}} d u$

Étape 5

Comme $\frac{1}{7}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{7}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{7} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 6

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{7} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 6.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{7} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 6.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{7} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 6.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{7} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 6.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{7} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{7} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Réécrivez $\frac{1}{7} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ comme $\frac{1}{7} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{7} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{7}$ et $2$ .

$\frac{2}{7} u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 x - 9$ .

$\frac{2}{7} {(7 x - 9)}^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 10

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{\sqrt{7 x - 9}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{7} {(7 x - 9)}^{\frac{1}{2}} + C$