Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(2 - 3 x)}^{2}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int {(2 - 3 x)}^{2} d x$

Étape 3

Laissez $u = 2 - 3 x$ . Alors $d u = - 3 d x$ , donc $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = 2 - 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $2 - 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 - 3 x]$

Étape 3.1.2

Différenciez.

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Étape 3.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 3.1.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 3.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 3.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Étape 3.1.3.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$0 - 3$

Étape 3.1.4

Soustrayez $3$ de $0$ .

$- 3$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u^{2} \frac{1}{- 3} d u$

Étape 4

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Étape 4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int u^{2} (- \frac{1}{3}) d u$

Étape 4.2

Associez $u^{2}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{u^{2}}{3} d u$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{u^{2}}{3} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{3} \int u^{2} d u)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- \frac{1}{3} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Étape 8

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Étape 8.1

Réécrivez $- \frac{1}{3} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ comme $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$

Étape 8.2

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Étape 8.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 3} u^{3} + C$

Étape 8.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{1}{9} u^{3} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 - 3 x$ .

$- \frac{1}{9} {(2 - 3 x)}^{3} + C$

Étape 10

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = {(2 - 3 x)}^{2}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{9} {(2 - 3 x)}^{3} + C$