Calcul infinitésimal Exemples

$- x y^{3} - x = 4 y^{3} + 4$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (- x y^{3} - x) = \frac{d}{d x} (4 y^{3} + 4)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x y^{3} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x y^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y^{3}$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$- (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$- (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2.6

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$- (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2.7

Multipliez $y^{3}$ par $1$ .

$- (3 x y^{2} y' + y^{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (3 x y^{2} y' + y^{3}) - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (3 x y^{2} y' + y^{3}) - 1 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- (3 x y^{2} y' + y^{3}) - 1$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- (3 x y^{2} y') - y^{3} - 1$

Étape 2.4.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 x y^{2} y' - y^{3} - 1$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- y^{3} - 3 y^{2} x y' - 1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 y^{3} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 y^{3}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$4 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$4 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.4

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 y^{2} y' + 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $12 y^{2} y'$ et $0$ .

$12 y^{2} y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- y^{3} - 3 y^{2} x y' - 1 = 12 y^{2} y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $12 y^{2} y'$ des deux côtés de l’équation.

$- y^{3} - 3 y^{2} x y' - 1 - 12 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Ajoutez $y^{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$- 3 y^{2} x y' - 1 - 12 y^{2} y' = y^{3}$

Étape 5.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- 3 y^{2} x y' - 12 y^{2} y' = y^{3} + 1$

Étape 5.3

Factorisez $3 y^{2} y'$ à partir de $- 3 y^{2} x y' - 12 y^{2} y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $3 y^{2} y'$ à partir de $- 3 y^{2} x y'$ .

$3 y^{2} y' (- 1 x) - 12 y^{2} y' = y^{3} + 1$

Étape 5.3.2

Factorisez $3 y^{2} y'$ à partir de $- 12 y^{2} y'$ .

$3 y^{2} y' (- 1 x) + 3 y^{2} y' \cdot - 4 = y^{3} + 1$

Étape 5.3.3

Factorisez $3 y^{2} y'$ à partir de $3 y^{2} y' (- 1 x) + 3 y^{2} y' \cdot - 4$ .

$3 y^{2} y' (- 1 x - 4) = y^{3} + 1$

Étape 5.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$3 y^{2} y' (- x - 4) = y^{3} + 1$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $3 y^{2} y' (- x - 4) = y^{3} + 1$ par $3 y^{2} (- x - 4)$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $3 y^{2} y' (- x - 4) = y^{3} + 1$ par $3 y^{2} (- x - 4)$ .

$\frac{3 y^{2} y' (- x - 4)}{3 y^{2} (- x - 4)} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y^{2} y' (- x - 4)}{3 y^{2} (- x - 4)} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Étape 5.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} y' (- x - 4)}{y^{2} (- x - 4)} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Étape 5.5.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} y' (- x - 4)}{y^{2} (- x - 4)} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Étape 5.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (- x - 4)}{- x - 4} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Étape 5.5.2.3

Annulez le facteur commun de $- x - 4$ .

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Étape 5.5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- x - 4)}{- x - 4} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Étape 5.5.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Annulez le facteur commun à $y^{3}$ et $y^{2}$ .

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Étape 5.5.3.1.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{3}$ .

$y' = \frac{y^{2} y}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Étape 5.5.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.3.1.2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $3 y^{2} (- x - 4)$ .

$y' = \frac{y^{2} y}{y^{2} (3 (- x - 4))} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Étape 5.5.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{y^{2} y}{y^{2} (3 (- x - 4))} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Étape 5.5.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{y}{3 (- x - 4)} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 (- x - 4)} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$