Calcul infinitésimal Exemples

$- x y^{3} + 5 y = 3 - x^{3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (- x y^{3} + 5 y) = \frac{d}{d x} (3 - x^{3})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x y^{3} + 5 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y]$ .

$\frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x y^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y^{3}$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$- (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$- (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Étape 2.2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Étape 2.2.6

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$- (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Étape 2.2.7

Multipliez $y^{3}$ par $1$ .

$- (3 x y^{2} y' + y^{3}) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 y$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 y'$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- (3 x y^{2} y') - y^{3} + 5 y'$

Étape 2.4.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 x y^{2} y' - y^{3} + 5 y'$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- y^{3} - 3 y^{2} x y' + 5 y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 3.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$0 - (3 x^{2})$

Étape 3.2.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$0 - 3 x^{2}$

Étape 3.3

Soustrayez $3 x^{2}$ de $0$ .

$- 3 x^{2}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- y^{3} - 3 y^{2} x y' + 5 y' = - 3 x^{2}$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Ajoutez $y^{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$- 3 y^{2} x y' + 5 y' = - 3 x^{2} + y^{3}$

Étape 5.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 3 y^{2} x y' + 5 y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $- 3 y^{2} x y'$ .

$y' (- 3 y^{2} x) + 5 y' = - 3 x^{2} + y^{3}$

Étape 5.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $5 y'$ .

$y' (- 3 y^{2} x) + y' \cdot 5 = - 3 x^{2} + y^{3}$

Étape 5.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- 3 y^{2} x) + y' \cdot 5$ .

$y' (- 3 y^{2} x + 5) = - 3 x^{2} + y^{3}$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $y' (- 3 y^{2} x + 5) = - 3 x^{2} + y^{3}$ par $- 3 y^{2} x + 5$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (- 3 y^{2} x + 5) = - 3 x^{2} + y^{3}$ par $- 3 y^{2} x + 5$ .

$\frac{y' (- 3 y^{2} x + 5)}{- 3 y^{2} x + 5} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2} x + 5} + \frac{y^{3}}{- 3 y^{2} x + 5}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3 y^{2} x + 5$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- 3 y^{2} x + 5)}{- 3 y^{2} x + 5} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2} x + 5} + \frac{y^{3}}{- 3 y^{2} x + 5}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2} x + 5} + \frac{y^{3}}{- 3 y^{2} x + 5}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 3 x^{2} + y^{3}}{- 3 y^{2} x + 5}$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) + y^{3}}{- 3 y^{2} x + 5}$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $y^{3}$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - 1 (- y^{3})}{- 3 y^{2} x + 5}$

Étape 5.3.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - 1 (- y^{3})$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} - y^{3})}{- 3 y^{2} x + 5}$

Étape 5.3.3.5

Réécrivez $- (3 x^{2} - y^{3})$ comme $- 1 (3 x^{2} - y^{3})$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y^{3})}{- 3 y^{2} x + 5}$

Étape 5.3.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 y^{2} x$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y^{3})}{- (3 y^{2} x) + 5}$

Étape 5.3.3.7

Réécrivez $5$ comme $- 1 (- 5)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y^{3})}{- (3 y^{2} x) - 1 (- 5)}$

Étape 5.3.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 y^{2} x) - 1 (- 5)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y^{3})}{- (3 y^{2} x - 5)}$

Étape 5.3.3.9

Réécrivez $- (3 y^{2} x - 5)$ comme $- 1 (3 y^{2} x - 5)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y^{3})}{- 1 (3 y^{2} x - 5)}$

Étape 5.3.3.10

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y^{3})}{- 1 (3 y^{2} x - 5)}$

Étape 5.3.3.11

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{3 x^{2} - y^{3}}{3 y^{2} x - 5}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} - y^{3}}{3 y^{2} x - 5}$