Calcul infinitésimal Exemples

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2} - \frac{5}{4}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{5}{4}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{5}{4}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - \frac{5}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4}]$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4}])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4}])$

Étape 3.3

Comme $- \frac{5}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{5}{4}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} (2 x + 0)$

Étape 3.4

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} (2 x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} e^{x} - \frac{5}{4} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Étape 4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x} x^{2} - \frac{5}{4} e^{x} + 2 e^{x} x$

Étape 4.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1

Associez $e^{x}$ et $\frac{5}{4}$ .

$e^{x} x^{2} - \frac{e^{x} \cdot 5}{4} + 2 e^{x} x$

Étape 4.3.2

Déplacez $5$ à gauche de $e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} - \frac{5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Étape 4.4

Soustrayez $\frac{5 e^{x}}{4}$ de $e^{x} x^{2}$ .

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Étape 4.4.1

Remettez dans l’ordre $e^{x}$ et $x^{2}$ .

$x^{2} e^{x} - \frac{5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Étape 4.4.2

Pour écrire $x^{2} e^{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} e^{x} \cdot \frac{4}{4} - \frac{5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Étape 4.4.3

Associez $x^{2} e^{x}$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2} e^{x} \cdot 4}{4} - \frac{5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Étape 4.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} e^{x} \cdot 4 - 5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Étape 4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2} e^{x}$ .

$\frac{4 \cdot (x^{2} e^{x}) - 5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Étape 4.5.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $4 x^{2} e^{x} - 5 e^{x}$ .

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Étape 4.5.2.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $4 x^{2} e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2}) - 5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Étape 4.5.2.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- 5 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2}) + e^{x} \cdot - 5}{4} + 2 e^{x} x$

Étape 4.5.2.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (4 x^{2}) + e^{x} \cdot - 5$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5)}{4} + 2 e^{x} x$

Étape 4.6

Pour écrire $2 e^{x} x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5)}{4} + 2 e^{x} x \cdot \frac{4}{4}$

Étape 4.7

Associez $2 e^{x} x$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5)}{4} + \frac{2 e^{x} x \cdot 4}{4}$

Étape 4.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5) + 2 e^{x} x \cdot 4}{4}$

Étape 4.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.9.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (4 x^{2} - 5) + 2 e^{x} x \cdot 4$ .

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Étape 4.9.1.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $2 e^{x} x \cdot 4$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5) + e^{x} (2 x \cdot 4)}{4}$

Étape 4.9.1.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (4 x^{2} - 5) + e^{x} (2 x \cdot 4)$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5 + 2 x \cdot 4)}{4}$

Étape 4.9.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5 + 8 x)}{4}$

Étape 4.9.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{e^{x} (4 x^{2} + 8 x - 5)}{4}$

Étape 4.9.4

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.9.4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot - 5 = - 20$ et dont la somme est $b = 8$ .

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Étape 4.9.4.1.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} + 8 (x) - 5)}{4}$

Étape 4.9.4.1.2

Réécrivez $8$ comme $- 2$ plus $10$

$\frac{e^{x} (4 x^{2} + (- 2 + 10) x - 5)}{4}$

Étape 4.9.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 2 x + 10 x - 5)}{4}$

Étape 4.9.4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.9.4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{e^{x} ((4 x^{2} - 2 x) + 10 x - 5)}{4}$

Étape 4.9.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{e^{x} (2 x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1))}{4}$

Étape 4.9.4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$\frac{e^{x} ((2 x - 1) (2 x + 5))}{4}$

$\frac{e^{x} (2 x - 1) (2 x + 5)}{4}$