Calcul infinitésimal Exemples

$S (t) = \frac{1}{3} t^{3} - 3.5 t^{2} + 10 t$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{3} t^{3} - 3.5 t^{2} + 10 t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{1}{3} t^{3}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

Étape 1.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} t^{2} + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

Étape 1.2.4

Associez $\frac{3}{3}$ et $t^{2}$ .

$\frac{3 t^{2}}{3} + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

Étape 1.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 t^{2}}{3} + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

Étape 1.2.5.2

Divisez $t^{2}$ par $1$ .

$t^{2} + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 3.5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 3.5 t^{2}$ par rapport à $t$ est $- 3.5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$t^{2} - 3.5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$t^{2} - 3.5 (2 t) + \frac{d}{d t} [10 t]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $- 3.5$ .

$t^{2} - 7 t + \frac{d}{d t} [10 t]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d t} [10 t]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $10$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $10 t$ par rapport à $t$ est $10 \frac{d}{d t} [t]$ .

$t^{2} - 7 t + 10 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$t^{2} - 7 t + 10 \cdot 1$

Étape 1.4.3

Multipliez $10$ par $1$ .

$f' (t) = t^{2} - 7 t + 10$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} - 7 t + 10$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7 t] + \frac{d}{d t} [10]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7 t] + \frac{d}{d t} [10]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [- 7 t] + \frac{d}{d t} [10]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [- 7 t]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 7 t$ par rapport à $t$ est $- 7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 t - 7 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [10]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 t - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [10]$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$2 t - 7 + \frac{d}{d t} [10]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $10$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $10$ par rapport à $t$ est $0$ .

$2 t - 7 + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $2 t - 7$ et $0$ .

$f'' (t) = 2 t - 7$

Étape 3

La dérivée seconde de $S (t)$ par rapport à $t$ est $2 t - 7$ .

$2 t - 7$