Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - 4 x^{2} + x^{3}}{4 + 5 x - 7 x^{2}}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6}{x^{2}} + \frac{- 4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{x^{3}}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6}{x^{2}} + \frac{- 4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{x^{3}}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 2.1.1.2

Divisez $- 4$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6}{x^{2}} - 4 + \frac{x^{3}}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 2.1.2

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x^{2}$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6}{x^{2}} - 4 + \frac{x^{2} x}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 2.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6}{x^{2}} - 4 + \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1}}{\frac{4}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 2.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6}{x^{2}} - 4 + \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1}}{\frac{4}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 2.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6}{x^{2}} - 4 + \frac{x}{1}}{\frac{4}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 2.1.2.2.4

Divisez $x$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6}{x^{2}} - 4 + x}{\frac{4}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6}{x^{2}} - 4 + x}{\frac{4}{x^{2}} + \frac{x \cdot 5}{x^{2}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 2.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6}{x^{2}} - 4 + x}{\frac{4}{x^{2}} + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6}{x^{2}} - 4 + x}{\frac{4}{x^{2}} + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6}{x^{2}} - 4 + x}{\frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{x} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6}{x^{2}} - 4 + x}{\frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{x} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 2.2.2.2

Divisez $- 7$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6}{x^{2}} - 4 + x}{\frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{x} - 7}$

Étape 3

Lorsque $x$ approche de $\infty$ , la fraction $\frac{6}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 4 + x}{\frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{x} - 7}$

Étape 4

Lorsque $x$ approche de $\infty$ , la fraction $\frac{4}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 4 + x}{0 + \frac{5}{x} - 7}$

Étape 5

Lorsque $x$ approche de $\infty$ , la fraction $\frac{5}{x}$ approche de $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 4 + x}{0 + 0 - 7}$

Étape 6

Comme son numérateur n’a pas de borne lorsque son dénominateur approche d’un nombre constant, la fraction $\frac{0 - 4 + x}{0 + 0 - 7}$ approche de l’infini négatif.

$- \infty$