Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $\frac{2}{15}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{15} x^{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{2}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$\frac{2}{15} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Étape 1.1.2.3

Associez $6$ et $\frac{2}{15}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Étape 1.1.2.4

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{12}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Étape 1.1.2.5

Associez $\frac{12}{15}$ et $x^{5}$ .

$\frac{12 x^{5}}{15} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Étape 1.1.2.6

Annulez le facteur commun à $12$ et $15$ .

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Étape 1.1.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $12 x^{5}$ .

$\frac{3 (4 x^{5})}{15} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Étape 1.1.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$\frac{3 (4 x^{5})}{3 (5)} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Étape 1.1.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (4 x^{5})}{3 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Étape 1.1.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{4 x^{5}}{5} - \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{4 x^{5}}{5} - (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{4 x^{5}}{5} - 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{4 x^{5}}{5} - 5 x^{4} - 8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{4 x^{5}}{5} - 5 x^{4} - 8 (4 x^{3})$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $4$ par $- 8$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{5}}{5} - 5 x^{4} - 32 x^{3}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{4 x^{5}}{5} - 5 x^{4} - 32 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $\frac{4}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 x^{5}}{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{4}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Étape 1.2.2.3

Associez $5$ et $\frac{4}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Étape 1.2.2.4

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{20}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Étape 1.2.2.5

Associez $\frac{20}{5}$ et $x^{4}$ .

$\frac{20 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Étape 1.2.2.6

Annulez le facteur commun à $20$ et $5$ .

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Étape 1.2.2.6.1

Factorisez $5$ à partir de $20 x^{4}$ .

$\frac{5 (4 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Étape 1.2.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.2.6.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Étape 1.2.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Étape 1.2.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Étape 1.2.2.6.2.4

Divisez $4 x^{4}$ par $1$ .

$4 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{4} - 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$4 x^{4} - 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Étape 1.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.4.1

Comme $- 32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 32 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{4} - 20 x^{3} - 32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 x^{4} - 20 x^{3} - 32 (3 x^{2})$

Étape 1.2.4.3

Multipliez $3$ par $- 32$ .

$f'' (x) = 4 x^{4} - 20 x^{3} - 96 x^{2}$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{4} - 20 x^{3} - 96 x^{2}$ .

$4 x^{4} - 20 x^{3} - 96 x^{2}$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{4} - 20 x^{3} - 96 x^{2} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$4 x^{4} - 20 x^{3} - 96 x^{2} = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $4 x^{2}$ à partir de $4 x^{4} - 20 x^{3} - 96 x^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $4 x^{2}$ à partir de $4 x^{4}$ .

$4 x^{2} (x^{2}) - 20 x^{3} - 96 x^{2} = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $4 x^{2}$ à partir de $- 20 x^{3}$ .

$4 x^{2} (x^{2}) + 4 x^{2} (- 5 x) - 96 x^{2} = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $4 x^{2}$ à partir de $- 96 x^{2}$ .

$4 x^{2} (x^{2}) + 4 x^{2} (- 5 x) + 4 x^{2} (- 24) = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $4 x^{2}$ à partir de $4 x^{2} (x^{2}) + 4 x^{2} (- 5 x)$ .

$4 x^{2} (x^{2} - 5 x) + 4 x^{2} (- 24) = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $4 x^{2}$ à partir de $4 x^{2} (x^{2} - 5 x) + 4 x^{2} (- 24)$ .

$4 x^{2} (x^{2} - 5 x - 24) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x^{2} - 5 x - 24$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 24$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 8, 3$

Étape 2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$4 x^{2} ((x - 8) (x + 3)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 x^{2} (x - 8) (x + 3) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 8 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x - 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 8$ égal à $0$ .

$x - 8 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 8$

Étape 2.6

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 2.6.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x^{2} (x - 8) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 0, 8, - 3$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $0$ dans $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{2}{15} \cdot {(0)}^{6} - {(0)}^{5} - 8 {(0)}^{4}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \frac{2}{15} \cdot 0 - {(0)}^{5} - 8 {(0)}^{4}$

Étape 3.1.2.1.2

Multipliez $\frac{2}{15}$ par $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{5} - 8 {(0)}^{4}$

Étape 3.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 0 - 8 {(0)}^{4}$

Étape 3.1.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 8 {(0)}^{4}$

Étape 3.1.2.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 8 \cdot 0$

Étape 3.1.2.1.6

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 3.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Étape 3.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 3.1.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $0$ dans $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ est $(0, 0)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0, 0)$

Étape 3.3

Remplacez $8$ dans $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $8$ dans l’expression.

$f (8) = \frac{2}{15} \cdot {(8)}^{6} - {(8)}^{5} - 8 {(8)}^{4}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Élevez $8$ à la puissance $6$ .

$f (8) = \frac{2}{15} \cdot 262144 - {(8)}^{5} - 8 {(8)}^{4}$

Étape 3.3.2.1.2

Multipliez $\frac{2}{15} \cdot 262144$ .

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Étape 3.3.2.1.2.1

Associez $\frac{2}{15}$ et $262144$ .

$f (8) = \frac{2 \cdot 262144}{15} - {(8)}^{5} - 8 {(8)}^{4}$

Étape 3.3.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $262144$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} - {(8)}^{5} - 8 {(8)}^{4}$

Étape 3.3.2.1.3

Élevez $8$ à la puissance $5$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} - 1 \cdot 32768 - 8 {(8)}^{4}$

Étape 3.3.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $32768$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} - 32768 - 8 {(8)}^{4}$

Étape 3.3.2.1.5

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} - 32768 - 8 \cdot 4096$

Étape 3.3.2.1.6

Multipliez $- 8$ par $4096$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} - 32768 - 32768$

Étape 3.3.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.3.2.2.1

Écrivez $- 32768$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768}{1} - 32768$

Étape 3.3.2.2.2

Multipliez $\frac{- 32768}{1}$ par $\frac{15}{15}$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768}{1} \cdot \frac{15}{15} - 32768$

Étape 3.3.2.2.3

Multipliez $\frac{- 32768}{1}$ par $\frac{15}{15}$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768 \cdot 15}{15} - 32768$

Étape 3.3.2.2.4

Écrivez $- 32768$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768 \cdot 15}{15} + \frac{- 32768}{1}$

Étape 3.3.2.2.5

Multipliez $\frac{- 32768}{1}$ par $\frac{15}{15}$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768 \cdot 15}{15} + \frac{- 32768}{1} \cdot \frac{15}{15}$

Étape 3.3.2.2.6

Multipliez $\frac{- 32768}{1}$ par $\frac{15}{15}$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768 \cdot 15}{15} + \frac{- 32768 \cdot 15}{15}$

Étape 3.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (8) = \frac{524288 - 32768 \cdot 15 - 32768 \cdot 15}{15}$

Étape 3.3.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.4.1

Multipliez $- 32768$ par $15$ .

$f (8) = \frac{524288 - 491520 - 32768 \cdot 15}{15}$

Étape 3.3.2.4.2

Multipliez $- 32768$ par $15$ .

$f (8) = \frac{524288 - 491520 - 491520}{15}$

Étape 3.3.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.2.5.1

Soustrayez $491520$ de $524288$ .

$f (8) = \frac{32768 - 491520}{15}$

Étape 3.3.2.5.2

Soustrayez $491520$ de $32768$ .

$f (8) = \frac{- 458752}{15}$

Étape 3.3.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (8) = - \frac{458752}{15}$

Étape 3.3.2.6

La réponse finale est $- \frac{458752}{15}$ .

$- \frac{458752}{15}$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $8$ dans $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ est $(8, - \frac{458752}{15})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(8, - \frac{458752}{15})$

Étape 3.5

Remplacez $- 3$ dans $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f (- 3) = \frac{2}{15} \cdot {(- 3)}^{6} - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $6$ .

$f (- 3) = \frac{2}{15} \cdot 729 - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

Étape 3.5.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.2.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$f (- 3) = \frac{2}{3 (5)} \cdot 729 - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

Étape 3.5.2.1.2.2

Factorisez $3$ à partir de $729$ .

$f (- 3) = \frac{2}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot 243) - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

Étape 3.5.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$f (- 3) = \frac{2}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot 243) - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

Étape 3.5.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$f (- 3) = \frac{2}{5} \cdot 243 - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

Étape 3.5.2.1.3

Associez $\frac{2}{5}$ et $243$ .

$f (- 3) = \frac{2 \cdot 243}{5} - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

Étape 3.5.2.1.4

Multipliez $2$ par $243$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

Étape 3.5.2.1.5

Élevez $- 3$ à la puissance $5$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + 243 - 8 {(- 3)}^{4}$

Étape 3.5.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 243$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + 243 - 8 {(- 3)}^{4}$

Étape 3.5.2.1.7

Élevez $- 3$ à la puissance $4$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + 243 - 8 \cdot 81$

Étape 3.5.2.1.8

Multipliez $- 8$ par $81$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + 243 - 648$

Étape 3.5.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.5.2.2.1

Écrivez $243$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + \frac{243}{1} - 648$

Étape 3.5.2.2.2

Multipliez $\frac{243}{1}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + \frac{243}{1} \cdot \frac{5}{5} - 648$

Étape 3.5.2.2.3

Multipliez $\frac{243}{1}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + \frac{243 \cdot 5}{5} - 648$

Étape 3.5.2.2.4

Écrivez $- 648$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + \frac{243 \cdot 5}{5} + \frac{- 648}{1}$

Étape 3.5.2.2.5

Multipliez $\frac{- 648}{1}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + \frac{243 \cdot 5}{5} + \frac{- 648}{1} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 3.5.2.2.6

Multipliez $\frac{- 648}{1}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + \frac{243 \cdot 5}{5} + \frac{- 648 \cdot 5}{5}$

Étape 3.5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 3) = \frac{486 + 243 \cdot 5 - 648 \cdot 5}{5}$

Étape 3.5.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.2.4.1

Multipliez $243$ par $5$ .

$f (- 3) = \frac{486 + 1215 - 648 \cdot 5}{5}$

Étape 3.5.2.4.2

Multipliez $- 648$ par $5$ .

$f (- 3) = \frac{486 + 1215 - 3240}{5}$

Étape 3.5.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.2.5.1

Additionnez $486$ et $1215$ .

$f (- 3) = \frac{1701 - 3240}{5}$

Étape 3.5.2.5.2

Soustrayez $3240$ de $1701$ .

$f (- 3) = \frac{- 1539}{5}$

Étape 3.5.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 3) = - \frac{1539}{5}$

Étape 3.5.2.6

La réponse finale est $- \frac{1539}{5}$ .

$- \frac{1539}{5}$

Étape 3.6

Le point trouvé en remplaçant $- 3$ dans $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ est $(- 3, - \frac{1539}{5})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 3, - \frac{1539}{5})$

Étape 3.7

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(0, 0), (8, - \frac{458752}{15}), (- 3, - \frac{1539}{5})$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 8) \cup (8, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 3)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3.1$ dans l’expression.

$f'' (- 3.1) = 4 {(- 3.1)}^{4} - 20 {(- 3.1)}^{3} - 96 {(- 3.1)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 3.1$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 3.1) = 4 \cdot 92.3521 - 20 {(- 3.1)}^{3} - 96 {(- 3.1)}^{2}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $4$ par $92.3521$ .

$f'' (- 3.1) = 369.4084 - 20 {(- 3.1)}^{3} - 96 {(- 3.1)}^{2}$

Étape 5.2.1.3

Élevez $- 3.1$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 3.1) = 369.4084 - 20 \cdot - 29.791 - 96 {(- 3.1)}^{2}$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $- 20$ par $- 29.791$ .

$f'' (- 3.1) = 369.4084 + 595.82 - 96 {(- 3.1)}^{2}$

Étape 5.2.1.5

Élevez $- 3.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 3.1) = 369.4084 + 595.82 - 96 \cdot 9.61$

Étape 5.2.1.6

Multipliez $- 96$ par $9.61$ .

$f'' (- 3.1) = 369.4084 + 595.82 - 922.56$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $369.4084$ et $595.82$ .

$f'' (- 3.1) = 965.2284 - 922.56$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $922.56$ de $965.2284$ .

$f'' (- 3.1) = 42.6684$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $42.6684$ .

$42.6684$

Étape 5.3

Sur $- 3.1$ , la dérivée seconde est $42.6684$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, - 3)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 3)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 3, 0)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{3}{2}$ dans l’expression.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 {(- \frac{3}{2})}^{4} - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 6.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 ({(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4}) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 ({(- 1)}^{4} (\frac{3^{4}}{2^{4}})) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (1 (\frac{3^{4}}{2^{4}})) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $\frac{3^{4}}{2^{4}}$ par $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{3^{4}}{2^{4}}) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{2^{4}}) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{16}) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.2.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{4 (4)}) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{4 \cdot 4}) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.7

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.7.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.7.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.9

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 (- \frac{27}{2^{3}}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.10

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 (- \frac{27}{8}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.11

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.2.1.11.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{27}{8}$ dans le numérateur.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 (\frac{- 27}{8}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.11.2

Factorisez $4$ à partir de $- 20$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 4 (- 5) (\frac{- 27}{8}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.11.3

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 4 \cdot (- 5 \frac{- 27}{4 \cdot 2}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.11.4

Annulez le facteur commun.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 4 \cdot (- 5 \frac{- 27}{4 \cdot 2}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.11.5

Réécrivez l’expression.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 5 (\frac{- 27}{2}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.12

Associez $- 5$ et $\frac{- 27}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{- 5 \cdot - 27}{2} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.13

Multipliez $- 5$ par $- 27$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.14

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 6.2.1.14.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})$

Étape 6.2.1.14.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

Étape 6.2.1.15

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

Étape 6.2.1.16

Multipliez $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Étape 6.2.1.17

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 \frac{9}{2^{2}}$

Étape 6.2.1.18

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 (\frac{9}{4})$

Étape 6.2.1.19

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.2.1.19.1

Factorisez $4$ à partir de $- 96$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} + 4 (- 24) (\frac{9}{4})$

Étape 6.2.1.19.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} + 4 \cdot (- 24 (\frac{9}{4}))$

Étape 6.2.1.19.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 24 \cdot 9$

Étape 6.2.1.20

Multipliez $- 24$ par $9$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 216$

Étape 6.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 6.2.2.1

Multipliez $\frac{135}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} \cdot \frac{2}{2} - 216$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $\frac{135}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 216$

Étape 6.2.2.3

Écrivez $- 216$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 216}{1}$

Étape 6.2.2.4

Multipliez $\frac{- 216}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 216}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 6.2.2.5

Multipliez $\frac{- 216}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 216 \cdot 4}{4}$

Étape 6.2.2.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135 \cdot 2}{4} + \frac{- 216 \cdot 4}{4}$

Étape 6.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81 + 135 \cdot 2 - 216 \cdot 4}{4}$

Étape 6.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.4.1

Multipliez $135$ par $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81 + 270 - 216 \cdot 4}{4}$

Étape 6.2.4.2

Multipliez $- 216$ par $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81 + 270 - 864}{4}$

Étape 6.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.5.1

Additionnez $81$ et $270$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{351 - 864}{4}$

Étape 6.2.5.2

Soustrayez $864$ de $351$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 513}{4}$

Étape 6.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{513}{4}$

Étape 6.2.6

La réponse finale est $- \frac{513}{4}$ .

$- \frac{513}{4}$

Étape 6.3

Sur $- \frac{3}{2}$ , la dérivée seconde est $- 128.25$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- 3, 0)$

Diminue sur $(- 3, 0)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 8)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f'' (4) = 4 {(4)}^{4} - 20 {(4)}^{3} - 96 {(4)}^{2}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Multipliez $4$ par ${(4)}^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.2.1.1.1

Multipliez $4$ par ${(4)}^{4}$ .

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Étape 7.2.1.1.1.1

Élevez $4$ à la puissance $1$ .

$f'' (4) = 4 {(4)}^{4} - 20 {(4)}^{3} - 96 {(4)}^{2}$

Étape 7.2.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (4) = 4^{1 + 4} - 20 {(4)}^{3} - 96 {(4)}^{2}$

Étape 7.2.1.1.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$f'' (4) = 4^{5} - 20 {(4)}^{3} - 96 {(4)}^{2}$

Étape 7.2.1.2

Élevez $4$ à la puissance $5$ .

$f'' (4) = 1024 - 20 {(4)}^{3} - 96 {(4)}^{2}$

Étape 7.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f'' (4) = 1024 - 20 \cdot 64 - 96 {(4)}^{2}$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $- 20$ par $64$ .

$f'' (4) = 1024 - 1280 - 96 {(4)}^{2}$

Étape 7.2.1.5

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f'' (4) = 1024 - 1280 - 96 \cdot 16$

Étape 7.2.1.6

Multipliez $- 96$ par $16$ .

$f'' (4) = 1024 - 1280 - 1536$

Étape 7.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 7.2.2.1

Soustrayez $1280$ de $1024$ .

$f'' (4) = - 256 - 1536$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $1536$ de $- 256$ .

$f'' (4) = - 1792$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 1792$ .

$- 1792$

Étape 7.3

Sur $4$ , la dérivée seconde est $- 1792$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(0, 8)$

Diminue sur $(0, 8)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(8, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $8.1$ dans l’expression.

$f'' (8.1) = 4 {(8.1)}^{4} - 20 {(8.1)}^{3} - 96 {(8.1)}^{2}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Élevez $8.1$ à la puissance $4$ .

$f'' (8.1) = 4 \cdot 4304.6721 - 20 {(8.1)}^{3} - 96 {(8.1)}^{2}$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $4$ par $4304.6721$ .

$f'' (8.1) = 17218.6884 - 20 {(8.1)}^{3} - 96 {(8.1)}^{2}$

Étape 8.2.1.3

Élevez $8.1$ à la puissance $3$ .

$f'' (8.1) = 17218.6884 - 20 \cdot 531.441 - 96 {(8.1)}^{2}$

Étape 8.2.1.4

Multipliez $- 20$ par $531.441$ .

$f'' (8.1) = 17218.6884 - 10628.82 - 96 {(8.1)}^{2}$

Étape 8.2.1.5

Élevez $8.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (8.1) = 17218.6884 - 10628.82 - 96 \cdot 65.61$

Étape 8.2.1.6

Multipliez $- 96$ par $65.61$ .

$f'' (8.1) = 17218.6884 - 10628.82 - 6298.56$

Étape 8.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Soustrayez $10628.82$ de $17218.6884$ .

$f'' (8.1) = 6589.8684 - 6298.56$

Étape 8.2.2.2

Soustrayez $6298.56$ de $6589.8684$ .

$f'' (8.1) = 291.3084$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $291.3084$ .

$291.3084$

Étape 8.3

Sur $8.1$ , la dérivée seconde est $291.3084$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(8, \infty)$ .

Augmente sur $(8, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 9

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, les points d’inflexion sont $(- 3, - \frac{1539}{5}), (8, - \frac{458752}{15})$ .

$(- 3, - \frac{1539}{5}), (8, - \frac{458752}{15})$

Étape 10