Calcul infinitésimal Exemples

$4 x \cdot e^{2 x}$

Étape 1

Écrivez $4 x \cdot e^{2 x}$ comme une fonction.

$f (x) = 4 x \cdot e^{2 x}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 4 x \cdot e^{2 x} d x$

Étape 4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int x \cdot e^{2 x} d x$

Étape 5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{2 x}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$4 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Étape 6.2

Associez $x$ et $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Étape 6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

Étape 8

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 8.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 8.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 8.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Étape 9

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Étape 10

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Étape 11.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Étape 12

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Étape 13

Réécrivez $4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ comme $4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$4 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Étape 15.1.2

Associez $\frac{x}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Étape 15.1.3

Associez $e^{2 x}$ et $\frac{1}{4}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Étape 15.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Étape 15.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 (2) \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Étape 15.3.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Étape 15.3.3

Réécrivez l’expression.

$2 (x e^{2 x}) + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Étape 15.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 15.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{e^{2 x}}{4}$ dans le numérateur.

$2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

Étape 15.4.2

Annulez le facteur commun.

$2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

Étape 15.4.3

Réécrivez l’expression.

$2 (x e^{2 x}) - e^{2 x} + C$

$2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$

Étape 16

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 4 x \cdot e^{2 x}$ .

$F (x) =$ $2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$