Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{3}{\sqrt{2 x - 6}} - \frac{2}{x^{3}}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{3}{\sqrt{2 x - 6}} - \frac{2}{x^{3}} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{3}{\sqrt{2 x - 6}} d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Étape 4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int \frac{1}{\sqrt{2 x - 6}} d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Étape 5

Laissez $u = 2 x - 6$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 2 x - 6$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $2 x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 6]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.1.4.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 5.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{u}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Étape 6.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{u}$ .

$3 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u) + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $3$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Étape 8.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 8.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Étape 8.2.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{3}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Étape 8.2.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 8.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Étape 8.2.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Étape 8.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Étape 10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - \int \frac{2}{x^{3}} d x$

Étape 11

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - (2 \int \frac{1}{x^{3}} d x)$

Étape 12

Simplifiez l’expression.

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Étape 12.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 12.2

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Étape 12.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 12.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Étape 12.3.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 \int x^{- 3} d x$

Étape 13

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Simplifiez

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Étape 14.1.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Étape 14.1.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Étape 14.2

Simplifiez

$3 u^{\frac{1}{2}} - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Étape 14.3

Simplifiez

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Étape 14.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$3 u^{\frac{1}{2}} + 2 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Étape 14.3.2

Associez $2$ et $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$3 u^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{2 x^{2}} + C$

Étape 14.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$3 u^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{2 x^{2}} + C$

Étape 14.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$3 u^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{2}} + C$

Étape 15

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 6$ .

$3 {(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{2}} + C$

Étape 16

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{3}{\sqrt{2 x - 6}} - \frac{2}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $3 {(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{2}} + C$