Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - \frac{1}{5} x^{5} - 2 x^{4} - 5 x^{3} + 9$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{1}{5} x^{5} - 2 x^{4} - 5 x^{3} + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- \frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{5} x^{5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- \frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 5 (\frac{1}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.4

Associez $- 5$ et $\frac{1}{5}$ .

$\frac{- 5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.5

Associez $\frac{- 5}{5}$ et $x^{4}$ .

$\frac{- 5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.6

Annulez le facteur commun à $- 5$ et $5$ .

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Étape 1.2.6.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5 x^{4}$ .

$\frac{5 (- x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.6.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 (- x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (- x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.6.2.4

Divisez $- x^{4}$ par $1$ .

$- x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- x^{4} - 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.3.3

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$- x^{4} - 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- x^{4} - 8 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- x^{4} - 8 x^{3} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.4.3

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.5.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2} + 0$

Étape 1.5.2

Additionnez $- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2}$ et $0$ .

$- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$f'' (x) = - 4 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 15 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 4 x^{3} - 24 x^{2} - 15 \frac{d}{d x} x^{2}$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 x^{3} - 24 x^{2} - 15 (2 x)$

Étape 2.4.3

Multipliez $2$ par $- 15$ .

$f'' (x) = - 4 x^{3} - 24 x^{2} - 30 x$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{5} x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- \frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{5} x^{5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = - \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} x^{5} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$f' (x) = - \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$f' (x) = - 5 (\frac{1}{5}) \cdot x^{4} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 4.1.2.4

Associez $- 5$ et $\frac{1}{5}$ .

$f' (x) = \frac{- 5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 4.1.2.5

Associez $\frac{- 5}{5}$ et $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{- 5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 4.1.2.6

Annulez le facteur commun à $- 5$ et $5$ .

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Étape 4.1.2.6.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5 x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{5 (- x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 4.1.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.6.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$f' (x) = \frac{5 (- x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 4.1.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{5 (- x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 4.1.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{- x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 4.1.2.6.2.4

Divisez $- x^{4}$ par $1$ .

$f' (x) = - x^{4} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = - x^{4} - 2 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = - x^{4} - 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$f' (x) = - x^{4} - 8 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 4.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

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Étape 4.1.4.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - x^{4} - 8 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = - x^{4} - 8 x^{3} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$f' (x) = - x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 4.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.5.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = - x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2} + 0$

Étape 4.1.5.2

Additionnez $- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = - x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2}$ .

$- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2} = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Factorisez $- x^{2}$ à partir de $- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $- x^{2}$ à partir de $- x^{4}$ .

$- x^{2} x^{2} - 8 x^{3} - 15 x^{2} = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $- x^{2}$ à partir de $- 8 x^{3}$ .

$- x^{2} x^{2} - x^{2} (8 x) - 15 x^{2} = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $- x^{2}$ à partir de $- 15 x^{2}$ .

$- x^{2} x^{2} - x^{2} (8 x) - x^{2} \cdot 15 = 0$

Étape 5.2.1.4

Factorisez $- x^{2}$ à partir de $- x^{2} (x^{2}) - x^{2} (8 x)$ .

$- x^{2} (x^{2} + 8 x) - x^{2} \cdot 15 = 0$

Étape 5.2.1.5

Factorisez $- x^{2}$ à partir de $- x^{2} (x^{2} + 8 x) - x^{2} (15)$ .

$- x^{2} (x^{2} + 8 x + 15) = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $x^{2} + 8 x + 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $15$ et dont la somme est $8$ .

$3, 5$

Étape 5.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- x^{2} ((x + 3) (x + 5)) = 0$

Étape 5.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- x^{2} (x + 3) (x + 5) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 5.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 5.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 5.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 5.6

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.6.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 5.6.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 5.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- x^{2} (x + 3) (x + 5) = 0$ vraie.

$x = 0, - 3, - 5$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, - 3, - 5$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 4 {(0)}^{3} - 24 {(0)}^{2} - 30 \cdot 0$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 4 \cdot 0 - 24 {(0)}^{2} - 30 \cdot 0$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$0 - 24 {(0)}^{2} - 30 \cdot 0$

Étape 9.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 24 \cdot 0 - 30 \cdot 0$

Étape 9.1.4

Multipliez $- 24$ par $0$ .

$0 + 0 - 30 \cdot 0$

Étape 9.1.5

Multipliez $- 30$ par $0$ .

$0 + 0 + 0$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 9.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0$

Étape 9.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 8$ , de l’intervalle $(- \infty, - 5)$ dans la dérivée première $- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 8$ dans l’expression.

$f' (- 8) = - {(- 8)}^{4} - 8 {(- 8)}^{3} - 15 {(- 8)}^{2}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.2.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $4$ .

$f' (- 8) = - 1 \cdot 4096 - 8 {(- 8)}^{3} - 15 {(- 8)}^{2}$

Étape 10.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4096$ .

$f' (- 8) = - 4096 - 8 {(- 8)}^{3} - 15 {(- 8)}^{2}$

Étape 10.2.2.1.3

Multipliez $- 8$ par ${(- 8)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.2.2.1.3.1

Multipliez $- 8$ par ${(- 8)}^{3}$ .

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Étape 10.2.2.1.3.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $1$ .

$f' (- 8) = - 4096 + (- 8) {(- 8)}^{3} - 15 {(- 8)}^{2}$

Étape 10.2.2.1.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (- 8) = - 4096 + {(- 8)}^{1 + 3} - 15 {(- 8)}^{2}$

Étape 10.2.2.1.3.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$f' (- 8) = - 4096 + {(- 8)}^{4} - 15 {(- 8)}^{2}$

Étape 10.2.2.1.4

Élevez $- 8$ à la puissance $4$ .

$f' (- 8) = - 4096 + 4096 - 15 {(- 8)}^{2}$

Étape 10.2.2.1.5

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$f' (- 8) = - 4096 + 4096 - 15 \cdot 64$

Étape 10.2.2.1.6

Multipliez $- 15$ par $64$ .

$f' (- 8) = - 4096 + 4096 - 960$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 10.2.2.2.1

Additionnez $- 4096$ et $4096$ .

$f' (- 8) = 0 - 960$

Étape 10.2.2.2.2

Soustrayez $960$ de $0$ .

$f' (- 8) = - 960$

Étape 10.2.2.3

La réponse finale est $- 960$ .

$- 960$

Étape 10.3

Remplacez tout nombre, tel que $- 4$ , de l’intervalle $(- 5, - 3)$ dans la dérivée première $- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f' (- 4) = - {(- 4)}^{4} - 8 {(- 4)}^{3} - 15 {(- 4)}^{2}$

Étape 10.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.3.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $4$ .

$f' (- 4) = - 1 \cdot 256 - 8 {(- 4)}^{3} - 15 {(- 4)}^{2}$

Étape 10.3.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $256$ .

$f' (- 4) = - 256 - 8 {(- 4)}^{3} - 15 {(- 4)}^{2}$

Étape 10.3.2.1.3

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$f' (- 4) = - 256 - 8 \cdot - 64 - 15 {(- 4)}^{2}$

Étape 10.3.2.1.4

Multipliez $- 8$ par $- 64$ .

$f' (- 4) = - 256 + 512 - 15 {(- 4)}^{2}$

Étape 10.3.2.1.5

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f' (- 4) = - 256 + 512 - 15 \cdot 16$

Étape 10.3.2.1.6

Multipliez $- 15$ par $16$ .

$f' (- 4) = - 256 + 512 - 240$

Étape 10.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 10.3.2.2.1

Additionnez $- 256$ et $512$ .

$f' (- 4) = 256 - 240$

Étape 10.3.2.2.2

Soustrayez $240$ de $256$ .

$f' (- 4) = 16$

Étape 10.3.2.3

La réponse finale est $16$ .

$16$

Étape 10.4

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- 3, 0)$ dans la dérivée première $- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = - {(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{3} - 15 {(- 2)}^{2}$

Étape 10.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.4.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$f' (- 2) = - 1 \cdot 16 - 8 {(- 2)}^{3} - 15 {(- 2)}^{2}$

Étape 10.4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$f' (- 2) = - 16 - 8 {(- 2)}^{3} - 15 {(- 2)}^{2}$

Étape 10.4.2.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f' (- 2) = - 16 - 8 \cdot - 8 - 15 {(- 2)}^{2}$

Étape 10.4.2.1.4

Multipliez $- 8$ par $- 8$ .

$f' (- 2) = - 16 + 64 - 15 {(- 2)}^{2}$

Étape 10.4.2.1.5

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = - 16 + 64 - 15 \cdot 4$

Étape 10.4.2.1.6

Multipliez $- 15$ par $4$ .

$f' (- 2) = - 16 + 64 - 60$

Étape 10.4.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 10.4.2.2.1

Additionnez $- 16$ et $64$ .

$f' (- 2) = 48 - 60$

Étape 10.4.2.2.2

Soustrayez $60$ de $48$ .

$f' (- 2) = - 12$

Étape 10.4.2.3

La réponse finale est $- 12$ .

$- 12$

Étape 10.5

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée première $- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.5.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = - {(2)}^{4} - 8 {(2)}^{3} - 15 {(2)}^{2}$

Étape 10.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.5.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f' (2) = - 1 \cdot 16 - 8 {(2)}^{3} - 15 {(2)}^{2}$

Étape 10.5.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$f' (2) = - 16 - 8 {(2)}^{3} - 15 {(2)}^{2}$

Étape 10.5.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f' (2) = - 16 - 8 \cdot 8 - 15 {(2)}^{2}$

Étape 10.5.2.1.4

Multipliez $- 8$ par $8$ .

$f' (2) = - 16 - 64 - 15 {(2)}^{2}$

Étape 10.5.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = - 16 - 64 - 15 \cdot 4$

Étape 10.5.2.1.6

Multipliez $- 15$ par $4$ .

$f' (2) = - 16 - 64 - 60$

Étape 10.5.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 10.5.2.2.1

Soustrayez $64$ de $- 16$ .

$f' (2) = - 80 - 60$

Étape 10.5.2.2.2

Soustrayez $60$ de $- 80$ .

$f' (2) = - 140$

Étape 10.5.2.3

La réponse finale est $- 140$ .

$- 140$

Étape 10.6

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = - 5$ , $x = - 5$ est un minimum local.

$x = - 5$ est un minimum local

Étape 10.7

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = - 3$ , $x = - 3$ est un maximum local.

$x = - 3$ est un maximum local

Étape 10.8

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 0$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 10.9

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = - \frac{1}{5} x^{5} - 2 x^{4} - 5 x^{3} + 9$ .

$x = - 5$ est un minimum local

$x = - 3$ est un maximum local

$x = - 5$ est un minimum local

$x = - 3$ est un maximum local

Étape 11