Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{5 x - 2}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{5 x - 2} d x$

Étape 3

Laissez $u = 5 x - 2$ . Alors $d u = 5 d x$ , donc $\frac{1}{5} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = 5 x - 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $5 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [5 x - 2]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 3.1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.1.3.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.1.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 + 0$

Étape 3.1.4.2

Additionnez $5$ et $0$ .

$5$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{5} d u$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 5} d u$

Étape 4.2

Déplacez $5$ à gauche de $u$ .

$\int \frac{1}{5 u} d u$

Étape 5

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{5} (\ln (| u |) + C)$

Étape 7

Simplifiez

$\frac{1}{5} \ln (| u |) + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x - 2$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 5 x - 2 |) + C$

Étape 9

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{5 x - 2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{5} \ln (| 5 x - 2 |) + C$