Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{\cos^{4} (x)}$

Étape 1

Écrivez $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{\cos^{4} (x)}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{\cos^{4} (x)} d x$

Étape 4

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ à $\sec^{4} (x)$ .

$\int \sec^{4} (x) d x$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Réécrivez $4$ comme $2$ plus $2$

$\int {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Étape 5.2

Réécrivez ${\sec (x)}^{2 + 2}$ comme $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x$

Étape 6

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\sec^{2} (x)$ comme $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x$

Étape 7

Laissez $u = \tan (x)$ . Alors $d u = \sec^{2} (x) d x$ , donc $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1

Laissez $u = \tan (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 7.1.2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int 1 + u^{2} d u$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d u + \int u^{2} d u$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$u + C + \int u^{2} d u$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Étape 11

Simplifiez

$u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$

Étape 13

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{\cos^{4} (x)}$ .

$F (x) =$ $\tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$