Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x) + \sin (3 x)}{1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Étape 1.1.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Étape 1.1.2.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Étape 1.1.2.5

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Étape 1.1.2.6

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1 - \cos (0) + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Étape 1.1.2.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1 - \cos (0) + \sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Étape 1.1.2.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.7.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + \sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Étape 1.1.2.7.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1 + \sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Étape 1.1.2.7.1.3

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{1 - 1 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Étape 1.1.2.7.1.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Étape 1.1.2.7.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Étape 1.1.2.7.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Étape 1.1.3.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Étape 1.1.3.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + \tan (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Étape 1.1.3.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + \tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.1.3.6

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.3.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0) + \tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.1.3.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0) + \tan (2 \cdot 0)}$

Étape 1.1.3.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.7.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1 + \tan (2 \cdot 0)}$

Étape 1.1.3.7.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 + \tan (2 \cdot 0)}$

Étape 1.1.3.7.1.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0}{1 - 1 + \tan (0)}$

Étape 1.1.3.7.1.4

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{1 - 1 + 0}$

Étape 1.1.3.7.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Étape 1.1.3.7.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.7.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.8

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x) + \sin (3 x)}{1 - \cos (x) + \tan (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (x) + \sin (3 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Étape 1.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Étape 1.3.4.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Étape 1.3.4.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Étape 1.3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

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Étape 1.3.5.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 1.3.5.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Étape 1.3.5.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Étape 1.3.5.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Étape 1.3.5.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Étape 1.3.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \cos (3 x) (3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Étape 1.3.5.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \cos (3 x) \cdot 3}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Étape 1.3.5.5

Déplacez $3$ à gauche de $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + 3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Étape 1.3.6

Additionnez $0$ et $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Étape 1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (x) + \tan (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Étape 1.3.8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Étape 1.3.9

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Étape 1.3.9.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Étape 1.3.9.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 - - \sin (x) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Étape 1.3.9.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 + 1 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Étape 1.3.9.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 + \sin (x) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Étape 1.3.10

Évaluez $\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

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Étape 1.3.10.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.3.10.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 + \sin (x) + \frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 1.3.10.1.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 + \sin (x) + \sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 1.3.10.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 + \sin (x) + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 1.3.10.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 + \sin (x) + \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 1.3.10.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 + \sin (x) + \sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)}$

Étape 1.3.10.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 + \sin (x) + \sec^{2} (2 x) \cdot 2}$

Étape 1.3.10.5

Déplacez $2$ à gauche de $\sec^{2} (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 + \sin (x) + 2 \sec^{2} (2 x)}$

Étape 1.3.11

Simplifiez

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Étape 1.3.11.1

Additionnez $0$ et $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{\sin (x) + 2 \sec^{2} (2 x)}$

Étape 1.3.11.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.11.2.1

Réécrivez $\sec (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{\sin (x) + 2 {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{2}}$

Étape 1.3.11.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{\sin (x) + 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x)}}$

Étape 1.3.11.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{\sin (x) + 2 \frac{1}{\cos^{2} (2 x)}}$

Étape 1.3.11.2.4

Associez $2$ et $\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{\sin (x) + \frac{2}{\cos^{2} (2 x)}}$

Étape 1.4

Associez des termes.

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Étape 1.4.1

Pour écrire $\sin (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos^{2} (2 x)}{\cos^{2} (2 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{\frac{\sin (x) \cos^{2} (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} + \frac{2}{\cos^{2} (2 x)}}$

Étape 1.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{\frac{\sin (x) \cos^{2} (2 x) + 2}{\cos^{2} (2 x)}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) + 3 \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (2 x) + 2}{\cos^{2} (2 x)}}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (2 x) + 2}{\cos^{2} (2 x)}}$

Étape 2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (2 x) + 2}{\cos^{2} (2 x)}}$

Étape 2.4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (2 x) + 2}{\cos^{2} (2 x)}}$

Étape 2.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (2 x) + 2}{\cos^{2} (2 x)}}$

Étape 2.6

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (2 x) + 2}{\cos^{2} (2 x)}}$

Étape 2.7

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos^{2} (2 x) + 2}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}}$

Étape 2.8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}}$

Étape 2.9

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}}$

Étape 2.10

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}}$

Étape 2.11

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (2 x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} \cos (2 x))}^{2} + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}}$

Étape 2.12

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}}$

Étape 2.13

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}}$

Étape 2.14

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}}$

Étape 2.15

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (2 x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2}{{(lim_{x \to 0} \cos (2 x))}^{2}}}$

Étape 2.16

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} 2 x)}}$

Étape 2.17

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin (0) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 3.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (2 \cdot 0) + 2}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 3.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (2 \cdot 0) + 2}{\cos^{2} (2 \cdot 0)}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{\cos^{2} (2 \cdot 0)}{\sin (0) \cdot \cos^{2} (2 \cdot 0) + 2}$

Étape 4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$(\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{\cos^{2} (0)}{\sin (0) \cdot \cos^{2} (2 \cdot 0) + 2}$

Étape 4.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$(\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{1^{2}}{\sin (0) \cdot \cos^{2} (2 \cdot 0) + 2}$

Étape 4.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{1}{\sin (0) \cdot \cos^{2} (2 \cdot 0) + 2}$

Étape 4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$(\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{1}{0 \cdot \cos^{2} (2 \cdot 0) + 2}$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$(\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{1}{0 \cdot \cos^{2} (0) + 2}$

Étape 4.3.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$(\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{1}{0 \cdot 1^{2} + 2}$

Étape 4.3.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{1}{0 \cdot 1 + 2}$

Étape 4.3.5

Multipliez $0$ par $1$ .

$(\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{1}{0 + 2}$

Étape 4.3.6

Additionnez $0$ et $2$ .

$(\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{1}{2}$

Étape 4.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$(0 + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{1}{2}$

Étape 4.4.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$(0 + 3 \cos (0)) \frac{1}{2}$

Étape 4.4.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$(0 + 3 \cdot 1) \frac{1}{2}$

Étape 4.4.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$(0 + 3) \frac{1}{2}$

Étape 4.5

Additionnez $0$ et $3$ .

$3 (\frac{1}{2})$

Étape 4.6

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{3}{2}$

Forme décimale :

$1.5$