Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} + 13 x^{2} + 24 x - 108}{x^{2} + 12 x + 35}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} + 13 x^{2} + 24 x - 108}{lim_{x \to 1} x^{2} + 12 x + 35}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} + lim_{x \to 1} 13 x^{2} + lim_{x \to 1} 24 x - lim_{x \to 1} 108}{lim_{x \to 1} x^{2} + 12 x + 35}$

Étape 3

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} + lim_{x \to 1} 13 x^{2} + lim_{x \to 1} 24 x - lim_{x \to 1} 108}{lim_{x \to 1} x^{2} + 12 x + 35}$

Étape 4

Placez le terme $13$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 13 lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 24 x - lim_{x \to 1} 108}{lim_{x \to 1} x^{2} + 12 x + 35}$

Étape 5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 13 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 24 x - lim_{x \to 1} 108}{lim_{x \to 1} x^{2} + 12 x + 35}$

Étape 6

Placez le terme $24$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 13 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 24 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 108}{lim_{x \to 1} x^{2} + 12 x + 35}$

Étape 7

Évaluez la limite de $108$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 13 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 24 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 108}{lim_{x \to 1} x^{2} + 12 x + 35}$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 13 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 24 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 108}{lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 12 x + lim_{x \to 1} 35}$

Étape 9

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 13 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 24 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 108}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 12 x + lim_{x \to 1} 35}$

Étape 10

Placez le terme $12$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 13 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 24 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 108}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 12 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 35}$

Étape 11

Évaluez la limite de $35$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 13 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 24 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 108}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 12 lim_{x \to 1} x + 35}$

Étape 12

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 12.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1^{3} + 13 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 24 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 108}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 12 lim_{x \to 1} x + 35}$

Étape 12.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1^{3} + 13 \cdot 1^{2} + 24 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 108}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 12 lim_{x \to 1} x + 35}$

Étape 12.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1^{3} + 13 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 1 \cdot 108}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 12 lim_{x \to 1} x + 35}$

Étape 12.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1^{3} + 13 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 1 \cdot 108}{1^{2} + 12 lim_{x \to 1} x + 35}$

Étape 12.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1^{3} + 13 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 1 \cdot 108}{1^{2} + 12 \cdot 1 + 35}$

Étape 13

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1 + 13 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 1 \cdot 108}{1^{2} + 12 \cdot 1 + 35}$

Étape 13.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1 + 13 \cdot 1 + 24 \cdot 1 - 1 \cdot 108}{1^{2} + 12 \cdot 1 + 35}$

Étape 13.1.3

Multipliez $13$ par $1$ .

$\frac{1 + 13 + 24 \cdot 1 - 1 \cdot 108}{1^{2} + 12 \cdot 1 + 35}$

Étape 13.1.4

Multipliez $24$ par $1$ .

$\frac{1 + 13 + 24 - 1 \cdot 108}{1^{2} + 12 \cdot 1 + 35}$

Étape 13.1.5

Multipliez $- 1$ par $108$ .

$\frac{1 + 13 + 24 - 108}{1^{2} + 12 \cdot 1 + 35}$

Étape 13.1.6

Additionnez $1$ et $13$ .

$\frac{14 + 24 - 108}{1^{2} + 12 \cdot 1 + 35}$

Étape 13.1.7

Additionnez $14$ et $24$ .

$\frac{38 - 108}{1^{2} + 12 \cdot 1 + 35}$

Étape 13.1.8

Soustrayez $108$ de $38$ .

$\frac{- 70}{1^{2} + 12 \cdot 1 + 35}$

Étape 13.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{- 70}{1 + 12 \cdot 1 + 35}$

Étape 13.2.2

Multipliez $12$ par $1$ .

$\frac{- 70}{1 + 12 + 35}$

Étape 13.2.3

Additionnez $1$ et $12$ .

$\frac{- 70}{13 + 35}$

Étape 13.2.4

Additionnez $13$ et $35$ .

$\frac{- 70}{48}$

Étape 13.3

Annulez le facteur commun à $- 70$ et $48$ .

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Étape 13.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 70$ .

$\frac{2 (- 35)}{48}$

Étape 13.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $48$ .

$\frac{2 \cdot - 35}{2 \cdot 24}$

Étape 13.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 35}{2 \cdot 24}$

Étape 13.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 35}{24}$

Étape 13.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{35}{24}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{35}{24}$

Forme décimale :

$- 1.458\overline{3}$