Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x - 6}{4 x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x - 6}{4 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{x}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{x}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x - 6$ et $g (x) = x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x - 6] - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.3.3

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (1 + 0) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \cdot 1 - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.3.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 1.3.6

Associez les fractions.

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Étape 1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6)}{x^{2}}$

Étape 1.3.6.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{x - (x - 6)}{x^{2}}$ .

$\frac{x - (x - 6)}{4 x^{2}}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - x - - 6}{4 x^{2}}$

Étape 1.4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.2.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{0 - - 6}{4 x^{2}}$

Étape 1.4.2.2

Soustrayez $- 6$ de $0$ .

$\frac{- - 6}{4 x^{2}}$

Étape 1.4.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$\frac{6}{4 x^{2}}$

Étape 1.4.3

Annulez le facteur commun à $6$ et $4$ .

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Étape 1.4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 (3)}{4 x^{2}}$

Étape 1.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{2 (3)}{2 (2 x^{2})}$

Étape 1.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 3}{2 (2 x^{2})}$

Étape 1.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{3}{2 x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3}{2 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Étape 2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Étape 2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$\frac{3}{2} (- 2 x^{- 3})$

Étape 2.4

Simplifiez les termes.

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Étape 2.4.1

Associez $- 2$ et $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} x^{- 3}$

Étape 2.4.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{- 6}{2} x^{- 3}$

Étape 2.4.3

Associez $\frac{- 6}{2}$ et $x^{- 3}$ .

$\frac{- 6 x^{- 3}}{2}$

Étape 2.4.4

Placez $x^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 6}{2 x^{3}}$

Étape 2.4.5

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

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Étape 2.4.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 x^{3}}$

Étape 2.4.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{3})}$

Étape 2.4.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 x^{3}}$

Étape 2.4.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3}{x^{3}}$

Étape 2.4.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{3}{x^{3}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 3.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Étape 3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$- 3 (- 3 x^{- 4})$

Étape 3.4

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$9 x^{- 4}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 3.5.2

Associez $9$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{9}{x^{4}}$