Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{4 x^{3}}{3} - 4 x + 1$ on $- 3$ , $1$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{4 x^{3}}{3} - 4 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{3}}{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.2.1

Comme $\frac{4}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 x^{3}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{4}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.1.2.3

Associez $3$ et $\frac{4}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.1.2.4

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{12}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.1.2.5

Associez $\frac{12}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{12 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.1.2.6

Annulez le facteur commun à $12$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $12 x^{2}$ .

$\frac{3 (4 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.1.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.2.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.1.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.1.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.1.2.6.2.4

Divisez $4 x^{2}$ par $1$ .

$4 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$4 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{2} - 4 + 0$

Étape 1.1.1.4.2

Additionnez $4 x^{2} - 4$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x^{2} - 4$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{2} - 4$ .

$4 x^{2} - 4$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{2} - 4 = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{2} - 4 = 0$

Étape 1.2.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} = 4$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $4 x^{2} = 4$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x^{2} = 4$ par $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{4}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.3.1

Divisez $4$ par $4$ .

$x^{2} = 1$

Étape 1.2.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 1.2.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 1.2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 1.2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 1.2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $\frac{4 x^{3}}{3} - 4 x + 1$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$\frac{4 {(1)}^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + 1$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{4 \cdot 1}{3} - 4 \cdot 1 + 1$

Étape 1.4.1.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{4}{3} - 4 \cdot 1 + 1$

Étape 1.4.1.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$\frac{4}{3} - 4 + 1$

Étape 1.4.1.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.2.1

Écrivez $- 4$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 4}{1} + 1$

Étape 1.4.1.2.2.2

Multipliez $\frac{- 4}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{3}{3} + 1$

Étape 1.4.1.2.2.3

Multipliez $\frac{- 4}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + 1$

Étape 1.4.1.2.2.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1}$

Étape 1.4.1.2.2.5

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 1.4.1.2.2.6

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3}$

Étape 1.4.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 - 4 \cdot 3 + 3}{3}$

Étape 1.4.1.2.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.4.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$\frac{4 - 12 + 3}{3}$

Étape 1.4.1.2.4.2

Soustrayez $12$ de $4$ .

$\frac{- 8 + 3}{3}$

Étape 1.4.1.2.4.3

Additionnez $- 8$ et $3$ .

$\frac{- 5}{3}$

Étape 1.4.1.2.4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{3}$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$\frac{4 {(- 1)}^{3}}{3} - 4 \cdot - 1 + 1$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{3} - 4 \cdot - 1 + 1$

Étape 1.4.2.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{- 4}{3} - 4 \cdot - 1 + 1$

Étape 1.4.2.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{3} - 4 \cdot - 1 + 1$

Étape 1.4.2.2.1.4

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$- \frac{4}{3} + 4 + 1$

Étape 1.4.2.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.2.1

Écrivez $4$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$- \frac{4}{3} + \frac{4}{1} + 1$

Étape 1.4.2.2.2.2

Multipliez $\frac{4}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{3} + 1$

Étape 1.4.2.2.2.3

Multipliez $\frac{4}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + 1$

Étape 1.4.2.2.2.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$- \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1}$

Étape 1.4.2.2.2.5

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 1.4.2.2.2.6

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3}$

Étape 1.4.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 4 + 4 \cdot 3 + 3}{3}$

Étape 1.4.2.2.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.4.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{- 4 + 12 + 3}{3}$

Étape 1.4.2.2.4.2

Additionnez $- 4$ et $12$ .

$\frac{8 + 3}{3}$

Étape 1.4.2.2.4.3

Additionnez $8$ et $3$ .

$\frac{11}{3}$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(1, - \frac{5}{3}), (- 1, \frac{11}{3})$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Évaluez sur $x = - 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $- 3$ .

$\frac{4 {(- 3)}^{3}}{3} - 4 \cdot - 3 + 1$

Étape 2.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun à ${(- 3)}^{3}$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.1.1

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\frac{4 {(- 1 (3))}^{3}}{3} - 4 \cdot - 3 + 1$

Étape 2.1.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $- 1 (3)$ .

$\frac{4 ({(- 1)}^{3} \cdot 3^{3})}{3} - 4 \cdot - 3 + 1$

Étape 2.1.2.1.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{4 (- 1 \cdot 3^{3})}{3} - 4 \cdot - 3 + 1$

Étape 2.1.2.1.1.4

Factorisez $3$ à partir de $4 (- 1 \cdot 3^{3})$ .

$\frac{3 (4 (- 1 \cdot 3^{2}))}{3} - 4 \cdot - 3 + 1$

Étape 2.1.2.1.1.5

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (4 (- 1 \cdot 3^{2}))}{3 (1)} - 4 \cdot - 3 + 1$

Étape 2.1.2.1.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (4 (- 1 \cdot 3^{2}))}{3 \cdot 1} - 4 \cdot - 3 + 1$

Étape 2.1.2.1.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 (- 1 \cdot 3^{2})}{1} - 4 \cdot - 3 + 1$

Étape 2.1.2.1.1.5.4

Divisez $4 (- 1 \cdot 3^{2})$ par $1$ .

$4 (- 1 \cdot 3^{2}) - 4 \cdot - 3 + 1$

Étape 2.1.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$4 (- 1 \cdot 9) - 4 \cdot - 3 + 1$

Étape 2.1.2.1.3

Multipliez $4 (- 1 \cdot 9)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$4 \cdot - 9 - 4 \cdot - 3 + 1$

Étape 2.1.2.1.3.2

Multipliez $4$ par $- 9$ .

$- 36 - 4 \cdot - 3 + 1$

Étape 2.1.2.1.4

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$- 36 + 12 + 1$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1

Additionnez $- 36$ et $12$ .

$- 24 + 1$

Étape 2.1.2.2.2

Additionnez $- 24$ et $1$ .

$- 23$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$\frac{4 {(1)}^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + 1$

Étape 2.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{4 \cdot 1}{3} - 4 \cdot 1 + 1$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{4}{3} - 4 \cdot 1 + 1$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$\frac{4}{3} - 4 + 1$

Étape 2.2.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1

Écrivez $- 4$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 4}{1} + 1$

Étape 2.2.2.2.2

Multipliez $\frac{- 4}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{3}{3} + 1$

Étape 2.2.2.2.3

Multipliez $\frac{- 4}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + 1$

Étape 2.2.2.2.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1}$

Étape 2.2.2.2.5

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 2.2.2.2.6

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3}$

Étape 2.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 - 4 \cdot 3 + 3}{3}$

Étape 2.2.2.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.4.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$\frac{4 - 12 + 3}{3}$

Étape 2.2.2.4.2

Soustrayez $12$ de $4$ .

$\frac{- 8 + 3}{3}$

Étape 2.2.2.4.3

Additionnez $- 8$ et $3$ .

$\frac{- 5}{3}$

Étape 2.2.2.4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{3}$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 3, - 23), (1, - \frac{5}{3})$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(- 1, \frac{11}{3})$

Minimum absolu : $(- 3, - 23)$

Étape 4