Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 x^{2} + 4} + 5 x}{4 x + 3}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} + \frac{5 x}{x}}{\frac{4 x}{x} + \frac{3}{x}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} + \frac{5 x}{x}}{\frac{4 x}{x} + \frac{3}{x}}$

Étape 2.1.2

Divisez $5$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} + 5}{\frac{4 x}{x} + \frac{3}{x}}$

Étape 2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} + 5}{4 + \frac{3}{x}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} + 5}{4 + \frac{3}{x}}$

Étape 2.2.2.2

Divisez $9$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 + \frac{4}{x^{2}}} + 5}{4 + \frac{3}{x}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{4}{x^{2}}} + 5}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x}}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{4}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x}}$

Étape 2.5

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{4}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x}}$

Étape 2.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x}}$

Étape 2.7

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{9 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x}}$

Étape 2.8

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x}}$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0} + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x}}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0} + 5}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x}}$

Étape 4.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0} + 5}{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}$

Étape 4.3

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0} + 5}{4 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}$

Étape 4.4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0} + 5}{4 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0} + 5}{4 + 3 \cdot 0}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0} + 5}{4 + 3 \cdot 0}$

Étape 6.1.2

Additionnez $9$ et $0$ .

$\frac{\sqrt{9} + 5}{4 + 3 \cdot 0}$

Étape 6.1.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}} + 5}{4 + 3 \cdot 0}$

Étape 6.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{3 + 5}{4 + 3 \cdot 0}$

Étape 6.1.5

Additionnez $3$ et $5$ .

$\frac{8}{4 + 3 \cdot 0}$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{8}{4 + 0}$

Étape 6.2.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{8}{4}$

Étape 6.3

Divisez $8$ par $4$ .

$2$