Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{9 x^{7}}{x^{8} + 9} d x$

Étape 1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$9 \int \frac{x^{7}}{x^{8} + 9} d x$

Étape 2

Laissez $u = x^{8} + 9$ . Alors $d u = 8 x^{7} d x$ , donc $\frac{1}{8} d u = x^{7} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = x^{8} + 9$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $x^{8} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{8} + 9]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{8} + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$8 x^{7} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.1.4

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$8 x^{7} + 0$

Étape 2.1.5

Additionnez $8 x^{7}$ et $0$ .

$8 x^{7}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$9 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{8}$ .

$9 \int \frac{1}{u \cdot 8} d u$

Étape 3.2

Déplacez $8$ à gauche de $u$ .

$9 \int \frac{1}{8 u} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$9 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 5

Associez $\frac{1}{8}$ et $9$ .

$\frac{9}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{9}{8} (\ln (| u |) + C)$

Étape 7

Simplifiez

$\frac{9}{8} \ln (| u |) + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{8} + 9$ .

$\frac{9}{8} \ln (| x^{8} + 9 |) + C$