Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{3} \sin (x) + \cos (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{3} \sin (x) + \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \sin (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Comme $\sqrt{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\sqrt{3} \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\sqrt{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\sqrt{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\sqrt{3} \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\sqrt{3} \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \cos (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $\sqrt{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\sqrt{3} \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sqrt{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = \sqrt{3} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = \sqrt{3} (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = \sqrt{3} (- \sin (x)) - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = \sqrt{3} (- \sin (x)) - \cos (x)$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = - \sqrt{3} \sin (x) - \cos (x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x) = 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{\sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 5.2

Divisez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\sqrt{3} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 6

Séparez les fractions.

$\sqrt{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 7

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\sqrt{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 8

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\sqrt{3} - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 9

Séparez les fractions.

$\sqrt{3} - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 10

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\sqrt{3} - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 11

Divisez $0$ par $1$ .

$\sqrt{3} - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Étape 12

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$\sqrt{3} - \tan (x) = 0$

Étape 13

Soustrayez $\sqrt{3}$ des deux côtés de l’équation.

$- \tan (x) = - \sqrt{3}$

Étape 14

Divisez chaque terme dans $- \tan (x) = - \sqrt{3}$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Divisez chaque terme dans $- \tan (x) = - \sqrt{3}$ par $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

Étape 14.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

Étape 14.2.2

Divisez $\tan (x)$ par $1$ .

$\tan (x) = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

Étape 14.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{1}$

Étape 14.3.2

Divisez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\tan (x) = \sqrt{3}$

Étape 15

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Étape 16

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1

La valeur exacte de $\arctan (\sqrt{3})$ est $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 17

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{3}$

Étape 18

Simplifiez $π + \frac{π}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Étape 18.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.2.1

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Étape 18.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Étape 18.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.3.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Étape 18.3.2

Additionnez $3 π$ et $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Étape 19

La solution de l’équation est $x = \frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{4 π}{3}$

Étape 20

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \sqrt{3} \sin (\frac{π}{3}) - \cos (\frac{π}{3})$

Étape 21

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 21.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 21.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Étape 21.1.2

Multipliez $- \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 21.1.2.1

Associez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sqrt{3}$ .

$- \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Étape 21.1.2.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Étape 21.1.2.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Étape 21.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Étape 21.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Étape 21.1.3

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 21.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Étape 21.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Étape 21.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Étape 21.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 21.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Étape 21.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3^{1}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Étape 21.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{3}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Étape 21.1.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 21.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 21.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 - 1}{2}$

Étape 21.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 21.2.2.1

Soustrayez $1$ de $- 3$ .

$\frac{- 4}{2}$

Étape 21.2.2.2

Divisez $- 4$ par $2$ .

$- 2$

Étape 22

$x = \frac{π}{3}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{π}{3}$ est un maximum local

Étape 23

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{π}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 23.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{3}) = \sqrt{3} \sin (\frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 23.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 23.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 23.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2}) + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 23.2.1.2

Multipliez $\sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 23.2.1.2.1

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 23.2.1.2.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 23.2.1.2.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 23.2.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 23.2.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 23.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 23.2.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 23.2.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 23.2.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 23.2.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 23.2.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 23.2.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 23.2.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 23.2.1.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 23.2.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 23.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3 + 1}{2}$

Étape 23.2.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 23.2.2.2.1

Additionnez $3$ et $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{4}{2}$

Étape 23.2.2.2.2

Divisez $4$ par $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2$

Étape 23.2.3

La réponse finale est $2$ .

$y = 2$

Étape 24

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{4 π}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \sqrt{3} \sin (\frac{4 π}{3}) - \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 25

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 25.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 25.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le troisième quadrant.

$- \sqrt{3} (- \sin (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 25.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 25.1.3

Multipliez $- \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 25.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 25.1.3.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 25.1.3.3

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 25.1.3.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 25.1.3.5

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 25.1.3.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 25.1.3.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 25.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 25.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 25.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 25.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 25.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 25.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 25.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3^{1}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 25.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 25.1.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$\frac{3}{2} - - \cos (\frac{π}{3})$

Étape 25.1.6

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} - - \frac{1}{2}$

Étape 25.1.7

Multipliez $- - \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 25.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{3}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Étape 25.1.7.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 25.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 25.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 + 1}{2}$

Étape 25.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 25.2.2.1

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{4}{2}$

Étape 25.2.2.2

Divisez $4$ par $2$ .

$2$

Étape 26

$x = \frac{4 π}{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{4 π}{3}$ est un minimum local

Étape 27

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{4 π}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 27.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{4 π}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{4 π}{3}) = \sqrt{3} \sin (\frac{4 π}{3}) + \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 27.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 27.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 27.2.1.1

$f (\frac{4 π}{3}) = \sqrt{3} (- \sin (\frac{π}{3})) + \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 27.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 27.2.1.3

Multipliez $\sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 27.2.1.3.1

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 27.2.1.3.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 27.2.1.3.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 27.2.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 27.2.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 27.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 27.2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 27.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 27.2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 27.2.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 27.2.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 27.2.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 27.2.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 27.2.1.5

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Étape 27.2.1.6

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 27.2.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 27.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 3 - 1}{2}$

Étape 27.2.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 27.2.2.2.1

Soustrayez $1$ de $- 3$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 4}{2}$

Étape 27.2.2.2.2

Divisez $- 4$ par $2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2$

Étape 27.2.3

La réponse finale est $- 2$ .

$y = - 2$

Étape 28

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \sqrt{3} \sin (x) + \cos (x)$ .

$(\frac{π}{3}, 2)$ est un maximum local

$(\frac{4 π}{3}, - 2)$ est un minimum local

Étape 29