Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{2} \frac{x^{2} - x - 5}{x + 2} d x$

Étape 1

Divisez $x^{2} - x - 5$ par $x + 2$ .

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Étape 1.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$x$

$5$

Étape 1.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x$
	$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$

Étape 1.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$

Étape 1.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + 2 x$

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$

Étape 1.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$

Étape 1.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$	-	$5$

Étape 1.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 3 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$	-	$5$

Étape 1.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$	-	$5$
					-	$3 x$	-	$6$

Étape 1.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 3 x - 6$

				$x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$	-	$5$
					+	$3 x$	+	$6$

Étape 1.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$	-	$5$
					+	$3 x$	+	$6$
							+	$1$

Étape 1.11

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int_{1}^{2} x - 3 + \frac{1}{x + 2} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} - 3 d x + \int_{1}^{2} \frac{1}{x + 2} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 3 d x + \int_{1}^{2} \frac{1}{x + 2} d x$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + - 3 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{1}{x + 2} d x$

Étape 5

Laissez $u = x + 2$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = x + 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 5.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 5.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 5.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x + 2$ .

$u_{lower} = 1 + 2$

Étape 5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$u_{lower} = 3$

Étape 5.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x + 2$ .

$u_{upper} = 2 + 2$

Étape 5.5

Additionnez $2$ et $2$ .

$u_{upper} = 4$

Étape 5.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

Étape 5.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + - 3 x]_{1}^{2} + \int_{3}^{4} \frac{1}{u} d u$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + - 3 x]_{1}^{2} + \ln (| u |)]_{3}^{4}$

Étape 7

Associez $\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}$ et $- 3 x]_{1}^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - 3 x]_{1}^{2} + \ln (| u |)]_{3}^{4}$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez $\frac{1}{2} x^{2} - 3 x$ sur $2$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + \ln (| u |)]_{3}^{4}$

Étape 8.2

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $4$ et sur $3$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4 - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Étape 8.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\frac{4}{2} - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Étape 8.3.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 8.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Étape 8.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Étape 8.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Étape 8.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{1} - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Étape 8.3.3.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Étape 8.3.4

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$2 - 6 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Étape 8.3.5

Soustrayez $6$ de $2$ .

$- 4 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Étape 8.3.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 4 - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Étape 8.3.7

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$- 4 - (\frac{1}{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Étape 8.3.8

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 4 - (\frac{1}{2} - 3) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Étape 8.3.9

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 4 - (\frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Étape 8.3.10

Associez $- 3$ et $\frac{2}{2}$ .

$- 4 - (\frac{1}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Étape 8.3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 4 - \frac{1 - 3 \cdot 2}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Étape 8.3.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.12.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$- 4 - \frac{1 - 6}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Étape 8.3.12.2

Soustrayez $6$ de $1$ .

$- 4 - \frac{- 5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Étape 8.3.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 4 - - \frac{5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Étape 8.3.14

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 4 + 1 (\frac{5}{2}) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Étape 8.3.15

Multipliez $\frac{5}{2}$ par $1$ .

$- 4 + \frac{5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Étape 8.3.16

Pour écrire $- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Étape 8.3.17

Associez $- 4$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Étape 8.3.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 4 \cdot 2 + 5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Étape 8.3.19

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.19.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$\frac{- 8 + 5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Étape 8.3.19.2

Additionnez $- 8$ et $5$ .

$\frac{- 3}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Étape 8.3.20

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{2} + \ln (| 4 |) - \ln (| 3 |)$

Étape 9

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{3}{2} + \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $4$ est $4$ .

$- \frac{3}{2} + \ln (\frac{4}{| 3 |})$

Étape 10.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$- \frac{3}{2} + \ln (\frac{4}{3})$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{3}{2} + \ln (\frac{4}{3})$

Forme décimale :

$- 1.21231792 \dots$

Étape 12