Calcul infinitésimal Exemples

${(2 + e^{3 x})}^{2}$

Étape 1

Écrivez ${(2 + e^{3 x})}^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = {(2 + e^{3 x})}^{2}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int {(2 + e^{3 x})}^{2} d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez ${(2 + e^{3 x})}^{2}$ comme $(2 + e^{3 x}) (2 + e^{3 x})$ .

$\int (2 + e^{3 x}) (2 + e^{3 x}) d x$

Étape 4.2

Développez $(2 + e^{3 x}) (2 + e^{3 x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int 2 (2 + e^{3 x}) + e^{3 x} (2 + e^{3 x}) d x$

Étape 4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int 2 \cdot 2 + 2 e^{3 x} + e^{3 x} (2 + e^{3 x}) d x$

Étape 4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int 2 \cdot 2 + 2 e^{3 x} + e^{3 x} \cdot 2 + e^{3 x} e^{3 x} d x$

Étape 4.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int 4 + 2 e^{3 x} + e^{3 x} \cdot 2 + e^{3 x} e^{3 x} d x$

Étape 4.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{3 x}$ .

$\int 4 + 2 e^{3 x} + 2 \cdot e^{3 x} + e^{3 x} e^{3 x} d x$

Étape 4.3.1.3

Multipliez $e^{3 x}$ par $e^{3 x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.1.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 4 + 2 e^{3 x} + 2 e^{3 x} + e^{3 x + 3 x} d x$

Étape 4.3.1.3.2

Additionnez $3 x$ et $3 x$ .

$\int 4 + 2 e^{3 x} + 2 e^{3 x} + e^{6 x} d x$

Étape 4.3.2

Additionnez $2 e^{3 x}$ et $2 e^{3 x}$ .

$\int 4 + 4 e^{3 x} + e^{6 x} d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 4 d x + \int 4 e^{3 x} d x + \int e^{6 x} d x$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$4 x + C + \int 4 e^{3 x} d x + \int e^{6 x} d x$

Étape 7

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 x + C + 4 \int e^{3 x} d x + \int e^{6 x} d x$

Étape 8

Laissez $u_{1} = 3 x$ . Alors $d u_{1} = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 8.1

Laissez $u_{1} = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 8.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 8.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$4 x + C + 4 \int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1} + \int e^{6 x} d x$

Étape 9

Associez $e^{u_{1}}$ et $\frac{1}{3}$ .

$4 x + C + 4 \int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1} + \int e^{6 x} d x$

Étape 10

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$4 x + C + 4 (\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{6 x} d x$

Étape 11

Associez $\frac{1}{3}$ et $4$ .

$4 x + C + \frac{4}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{6 x} d x$

Étape 12

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{6 x} d x$

Étape 13

Laissez $u_{2} = 6 x$ . Alors $d u_{2} = 6 d x$ , donc $\frac{1}{6} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 13.1

Laissez $u_{2} = 6 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 13.1.1

Différenciez $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 13.1.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 13.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Étape 13.1.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$6$

Étape 13.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{6} d u_{2}$

Étape 14

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{6}$ .

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int \frac{e^{u_{2}}}{6} d u_{2}$

Étape 15

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{6} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 16

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{6} (e^{u_{2}} + C)$

Étape 17

Simplifiez

$4 x + \frac{4}{3} e^{u_{1}} + \frac{1}{6} e^{u_{2}} + C$

Étape 18

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 18.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 x$ .

$4 x + \frac{4}{3} e^{3 x} + \frac{1}{6} e^{u_{2}} + C$

Étape 18.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $6 x$ .

$4 x + \frac{4}{3} e^{3 x} + \frac{1}{6} e^{6 x} + C$

Étape 19

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = {(2 + e^{3 x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $4 x + \frac{4}{3} e^{3 x} + \frac{1}{6} e^{6 x} + C$