Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{4}}{{(6 x + 1)}^{3}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{4}}{{(6 x + 1)}^{3}})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = {(6 x + 1)}^{3}$ .

$\frac{{(6 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(6 x + 1)}^{3}]}{{({(6 x + 1)}^{3})}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(6 x + 1)}^{3})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(6 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(6 x + 1)}^{3}]}{{(6 x + 1)}^{3 \cdot 2}}$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{{(6 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(6 x + 1)}^{3}]}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{{(6 x + 1)}^{3} (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [{(6 x + 1)}^{3}]}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Étape 3.2.3

Déplacez $4$ à gauche de ${(6 x + 1)}^{3}$ .

$\frac{4 \cdot {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [{(6 x + 1)}^{3}]}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 6 x + 1$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6 x + 1$ .

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [6 x + 1])}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - x^{4} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [6 x + 1])}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 x + 1$ .

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - x^{4} (3 {(6 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [6 x + 1])}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Étape 3.4

Différenciez.

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Étape 3.4.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 3 x^{4} ({(6 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [6 x + 1])}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Étape 3.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 3 x^{4} ({(6 x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Étape 3.4.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 3 x^{4} ({(6 x + 1)}^{2} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Étape 3.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 3 x^{4} ({(6 x + 1)}^{2} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Étape 3.4.5

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 3 x^{4} ({(6 x + 1)}^{2} (6 + \frac{d}{d x} [1]))}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Étape 3.4.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 3 x^{4} ({(6 x + 1)}^{2} (6 + 0))}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Étape 3.4.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.7.1

Additionnez $6$ et $0$ .

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 3 x^{4} ({(6 x + 1)}^{2} \cdot 6)}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Étape 3.4.7.2

Déplacez $6$ à gauche de ${(6 x + 1)}^{2}$ .

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 3 x^{4} (6 \cdot {(6 x + 1)}^{2})}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Étape 3.4.7.3

Multipliez $6$ par $- 3$ .

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 18 x^{4} {(6 x + 1)}^{2}}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1.1

Factorisez $2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3}$ à partir de $4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 18 x^{4} {(6 x + 1)}^{2}$ .

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Étape 3.5.1.1.1

Factorisez $2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3}$ à partir de $4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3}$ .

$\frac{2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (2 (6 x + 1)) - 18 x^{4} {(6 x + 1)}^{2}}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Étape 3.5.1.1.2

Factorisez $2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3}$ à partir de $- 18 x^{4} {(6 x + 1)}^{2}$ .

$\frac{2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (2 (6 x + 1)) + 2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (- 9 x)}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Étape 3.5.1.1.3

Factorisez $2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3}$ à partir de $2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (2 (6 x + 1)) + 2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (- 9 x)$ .

$\frac{2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (2 (6 x + 1) - 9 x)}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Étape 3.5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (2 (6 x) + 2 \cdot 1 - 9 x)}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Étape 3.5.1.3

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (12 x + 2 \cdot 1 - 9 x)}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Étape 3.5.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (12 x + 2 - 9 x)}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Étape 3.5.1.5

Soustrayez $9 x$ de $12 x$ .

$\frac{2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (3 x + 2)}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Étape 3.5.2

Annulez le facteur commun à ${(6 x + 1)}^{2}$ et ${(6 x + 1)}^{6}$ .

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Étape 3.5.2.1

Factorisez ${(6 x + 1)}^{2}$ à partir de $2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (3 x + 2)$ .

$\frac{{(6 x + 1)}^{2} (2 x^{3} (3 x + 2))}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Étape 3.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.2.2.1

Factorisez ${(6 x + 1)}^{2}$ à partir de ${(6 x + 1)}^{6}$ .

$\frac{{(6 x + 1)}^{2} (2 x^{3} (3 x + 2))}{{(6 x + 1)}^{2} {(6 x + 1)}^{4}}$

Étape 3.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(6 x + 1)}^{2} (2 x^{3} (3 x + 2))}{{(6 x + 1)}^{2} {(6 x + 1)}^{4}}$

Étape 3.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x^{3} (3 x + 2)}{{(6 x + 1)}^{4}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{2 x^{3} (3 x + 2)}{{(6 x + 1)}^{4}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{3} (3 x + 2)}{{(6 x + 1)}^{4}}$