Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{4 x - 2}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

Étape 1

Laissez $u = 2 x - 1$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 2 x - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{u}{u^{2}} d u$

Étape 2

Annulez le facteur commun à $u$ et $u^{2}$ .

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Étape 2.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{u^{1}}{u^{2}} d u$

Étape 2.2

Factorisez $u$ à partir de $u^{1}$ .

$\int \frac{u \cdot 1}{u^{2}} d u$

Étape 2.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.1

Factorisez $u$ à partir de $u^{2}$ .

$\int \frac{u \cdot 1}{u \cdot u} d u$

Étape 2.3.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{u \cdot 1}{u \cdot u} d u$

Étape 2.3.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1}{u} d u$

Étape 3

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 1$ .

$\ln (| 2 x - 1 |) + C$