Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{2 x^{2}} d x$

Étape 1

Écrivez l’intégrale comme une limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{2 x^{2}} d x$

Étape 2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 3

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{t} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{t} x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{t} x^{- 2} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} - x^{- 1}]_{1}^{t}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- x^{- 1}]_{1}^{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- x^{- 1}]_{1}^{t}}{2}$

Étape 5.2

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Évaluez $- x^{- 1}$ sur $t$ et sur $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{(- t^{- 1}) + 1^{- 1}}{2}$

Étape 5.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$lim_{t \to \infty} \frac{- t^{- 1} + 1}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- t^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (t^{- 1}) + 1}{2}$

Étape 5.3.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (t^{- 1}) - 1 (- 1)}{2}$

Étape 5.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (t^{- 1}) - 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (t^{- 1} - 1)}{2}$

Étape 5.3.4

Réécrivez $- (t^{- 1} - 1)$ comme $- 1 (t^{- 1} - 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (t^{- 1} - 1)}{2}$

Étape 5.3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{t \to \infty} - \frac{t^{- 1} - 1}{2}$

Étape 6

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{t^{- 1} - 1}{2}$

Étape 6.2

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} t^{- 1} - 1$

Étape 6.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} t^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 6.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 6.5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{t}$ approche de $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 6.6

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

Étape 6.6.2

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 1)$

Étape 6.6.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$

Étape 6.6.2.3

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2})$

Étape 6.6.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{2}$

Forme décimale :

$0.5$