Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x^{4} - 2 x^{3} - 12 x^{2} + 9 x - 16}{x + 3} d x$

Étape 1

Divisez $x^{4} - 2 x^{3} - 12 x^{2} + 9 x - 16$ par $x + 3$ .

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Étape 1.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

Étape 1.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

Étape 1.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Étape 1.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{4} + 3 x^{3}$

				$x^{3}$
$x$	+	$3$		$x^{4}$	-	$2 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$9 x$	-	$16$
			-	$x^{4}$	-	$3 x^{3}$

Étape 1.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{3}$
$x$	+	$3$		$x^{4}$	-	$2 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$9 x$	-	$16$
			-	$x^{4}$	-	$3 x^{3}$
					-	$5 x^{3}$

Étape 1.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{3}$
$x$	+	$3$		$x^{4}$	-	$2 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$9 x$	-	$16$
			-	$x^{4}$	-	$3 x^{3}$
					-	$5 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

Étape 1.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 5 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{4}$	-	$2 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$9 x$	-	$16$
			-	$x^{4}$	-	$3 x^{3}$
					-	$5 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

Étape 1.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{4}$	-	$2 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$9 x$	-	$16$
			-	$x^{4}$	-	$3 x^{3}$
					-	$5 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$

Étape 1.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 5 x^{3} - 15 x^{2}$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

Étape 1.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

Étape 1.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$9 x$

Étape 1.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$9 x$

Étape 1.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$3 x^{2}$

$9 x$

Étape 1.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x^{2} + 9 x$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$3 x^{2}$

$9 x$

Étape 1.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$3 x^{2}$

$9 x$

$0$

Étape 1.16

Extrayez le terme suivant du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$3 x^{2}$

$9 x$

$0$

$16$

Étape 1.17

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int x^{3} - 5 x^{2} + 3 x - \frac{16}{x + 3} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{3} d x + \int - 5 x^{2} d x + \int 3 x d x + \int - \frac{16}{x + 3} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int - 5 x^{2} d x + \int 3 x d x + \int - \frac{16}{x + 3} d x$

Étape 4

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 5$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 \int x^{2} d x + \int 3 x d x + \int - \frac{16}{x + 3} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 3 x d x + \int - \frac{16}{x + 3} d x$

Étape 6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 \int x d x + \int - \frac{16}{x + 3} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - \frac{16}{x + 3} d x$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int \frac{16}{x + 3} d x$

Étape 9

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , placez $16$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (16 \int \frac{1}{x + 3} d x)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (16 \int \frac{1}{x + 3} d x)$

Étape 10.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) - (16 \int \frac{1}{x + 3} d x)$

Étape 11

Laissez $u = x + 3$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 11.1

Laissez $u = x + 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 11.1.1

Différenciez $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Étape 11.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 11.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 11.1.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 11.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 11.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) - (16 \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 12

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 16 \int \frac{1}{u} d u$

Étape 13

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 16 (\ln (| u |) + C)$

Étape 14

Simplifiez

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{5 x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} - 16 \ln (| u |) + C$

Étape 15

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 3$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{5 x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} - 16 \ln (| x + 3 |) + C$

Étape 16

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{4} x^{4} - \frac{5}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - 16 \ln (| x + 3 |) + C$