Calcul infinitésimal Exemples

$2 y e^{x} - y \cos (2 x y)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 y e^{x} - y \cos (2 x y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 y e^{x}] + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y e^{x}] + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 y e^{x}]$ .

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Étape 2.1

Comme $2 e^{x}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y e^{x}$ par rapport à $y$ est $2 e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 e^{x} + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y \cos (2 x y)$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y \cos (2 x y)]$ .

$2 e^{x} - \frac{d}{d y} [y \cos (2 x y)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y$ et $g (y) = \cos (2 x y)$ .

$2 e^{x} - (y \frac{d}{d y} [\cos (2 x y)] + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = \cos (y)$ et $g (y) = 2 x y$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x y$ .

$2 e^{x} - (y (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [2 x y]) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$2 e^{x} - (y (- \sin (u) \frac{d}{d y} [2 x y]) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x y$ .

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) \frac{d}{d y} [2 x y]) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 3.4

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $y$ est $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) (2 x \frac{d}{d y} [y])) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) (2 x \cdot 1)) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) (2 x \cdot 1)) + \cos (2 x y) \cdot 1)$

Étape 3.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) (2 x)) + \cos (2 x y) \cdot 1)$

Étape 3.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 e^{x} - (y (- 2 \sin (2 x y) x) + \cos (2 x y) \cdot 1)$

Étape 3.9

Multipliez $\cos (2 x y)$ par $1$ .

$2 e^{x} - (y (- 2 \sin (2 x y) x) + \cos (2 x y))$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 e^{x} - (y (- 2 \sin (2 x y) x)) - \cos (2 x y)$

Étape 4.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 e^{x} + 2 y (\sin (2 x y) x) - \cos (2 x y)$

Étape 4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x y \sin (2 x y) + 2 e^{x} - \cos (2 x y)$