Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{40} {(4 x - 1)}^{5}}{{(2 x + 3)}^{45}}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{40} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{{(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{40} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{40} \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Étape 2.3

Déplacez l’exposant $40$ de ${(\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{40}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{40} \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{40} \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Étape 2.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{40} \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Étape 2.6

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.6.1

Annulez le facteur commun.

Étape 2.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(2 lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{40} \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Étape 2.7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{40} \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Déplacez l’exposant $5$ de ${(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Étape 4.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Étape 4.3

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Étape 4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Étape 4.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Déplacez l’exposant $45$ de ${(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Étape 6.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{45}}$

Étape 6.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{45}}$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{45}}$

Étape 6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(2 lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{45}}$

Étape 6.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(2 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{45}}$

Étape 6.6

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(2 \cdot 1 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{45}}$

Étape 7

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{{(2 + 0)}^{40} {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

Étape 8.1.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{2^{40} {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

Étape 8.1.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{2^{40} {(4 - 0)}^{5}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

Étape 8.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{2^{40} {(4 + 0)}^{5}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

Étape 8.1.5

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{2^{40} \cdot 4^{5}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

Étape 8.1.6

Élevez $2$ à la puissance $40$ .

$\frac{1099511627776 \cdot 4^{5}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

Étape 8.1.7

Élevez $4$ à la puissance $5$ .

$\frac{1099511627776 \cdot 1024}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

Étape 8.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1099511627776 \cdot 1024}{{(2 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

Étape 8.2.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{1099511627776 \cdot 1024}{{(2 + 0)}^{45}}$

Étape 8.2.3

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{1099511627776 \cdot 1024}{2^{45}}$

Étape 8.2.4

Élevez $2$ à la puissance $45$ .

$\frac{1099511627776 \cdot 1024}{35184372088832}$

Étape 8.3

Multipliez $1099511627776$ par $1024$ .

$\frac{1125899906842624}{35184372088832}$

Étape 8.4

Divisez $1125899906842624$ par $35184372088832$ .

$32$