Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 6 x^{4} + 3 x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{4} + 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{4}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $4$ par $6$ .

$24 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$24 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$24 x^{3} + 3 (2 x)$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$24 x^{3} + 6 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $24 x^{3} + 6 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 x^{3}$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 24 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x)$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $24$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} + 6 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} + 6$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$24 x^{3} + 6 x = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{4} + 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{4}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $4$ par $6$ .

$24 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$24 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$24 x^{3} + 3 (2 x)$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + 6 x$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $24 x^{3} + 6 x$ .

$24 x^{3} + 6 x$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $24 x^{3} + 6 x = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$24 x^{3} + 6 x = 0$

Étape 5.2

Factorisez $6 x$ à partir de $24 x^{3} + 6 x$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $6 x$ à partir de $24 x^{3}$ .

$6 x (4 x^{2}) + 6 x = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x$ .

$6 x (4 x^{2}) + 6 x (1) = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x (4 x^{2}) + 6 x (1)$ .

$6 x (4 x^{2} + 1) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$4 x^{2} + 1 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $4 x^{2} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $4 x^{2} + 1$ égal à $0$ .

$4 x^{2} + 1 = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $4 x^{2} + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} = - 1$

Étape 5.5.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x^{2} = - 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x^{2} = - 1$ par $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 1}{4}$

Étape 5.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 1}{4}$

Étape 5.5.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{4}$

Étape 5.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} = - \frac{1}{4}$

Étape 5.5.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{4}}$

Étape 5.5.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{1}{4}}$ .

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Étape 5.5.2.4.1

Réécrivez $- \frac{1}{4}$ comme ${(\frac{i}{2})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2}}$

Étape 5.5.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{i}{2}$

Étape 5.5.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.5.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{i}{2}$

Étape 5.5.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{i}{2}$

Étape 5.5.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{i}{2}, - \frac{i}{2}$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $6 x (4 x^{2} + 1) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{i}{2}, - \frac{i}{2}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$72 {(0)}^{2} + 6$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$72 \cdot 0 + 6$

Étape 9.1.2

Multipliez $72$ par $0$ .

$0 + 6$

Étape 9.2

Additionnez $0$ et $6$ .

$6$

Étape 10

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 6 {(0)}^{4} + 3 {(0)}^{2}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 6 \cdot 0 + 3 {(0)}^{2}$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $6$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 3 {(0)}^{2}$

Étape 11.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 3 \cdot 0$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $3$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Étape 11.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 6 x^{4} + 3 x^{2}$ .

$(0, 0)$ est un minimum local

Étape 13