Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} e^{- x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x^{2}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x^{2}$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.1

Déplacez $x$ .

$x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{1 + 2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.5

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- x^{2}}$ .

$x^{3} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)$

Étape 1.7

Simplifiez

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Étape 1.7.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 e^{- x^{2}} x^{3} + 2 e^{- x^{2}} x$

Étape 1.7.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 2 e^{- x^{2}} x^{3} + 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x^{3} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3} e^{- x^{2}}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{3} e^{- x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} (x^{3} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.8

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.8.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - 2 (x \cdot x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.8.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 2.2.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x \cdot x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 2 (x^{1 + 3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.8.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.9

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x e^{- x^{2}}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x e^{- x^{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x e^{- x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 \frac{d}{d x} (x e^{- x^{2}})$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{2}$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Étape 2.3.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Étape 2.3.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Étape 2.3.9

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Étape 2.3.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Étape 2.3.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Étape 2.3.12

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Étape 2.3.13

Multipliez $e^{- x^{2}}$ par $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}})$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}})) - 2 (e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}})$

Étape 2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}})) - 2 (e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) + 2 e^{- x^{2}}$

Étape 2.4.3

Associez des termes.

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Étape 2.4.3.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 4 (x^{4} (e^{- x^{2}})) - 2 (e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) + 2 e^{- x^{2}}$

Étape 2.4.3.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 4 x^{4} e^{- x^{2}} - 6 (e^{- x^{2}} (x^{2})) + 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) + 2 e^{- x^{2}}$

Étape 2.4.3.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f'' (x) = 4 x^{4} e^{- x^{2}} - 6 e^{- x^{2}} x^{2} - 4 (x^{2} (e^{- x^{2}})) + 2 e^{- x^{2}}$

Étape 2.4.3.4

Soustrayez $4 x^{2} e^{- x^{2}}$ de $- 6 e^{- x^{2}} x^{2}$ .

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Étape 2.4.3.4.1

Déplacez $e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 x^{4} e^{- x^{2}} - 6 x^{2} e^{- x^{2}} - 4 x^{2} e^{- x^{2}} + 2 e^{- x^{2}}$

Étape 2.4.3.4.2

Soustrayez $4 x^{2} e^{- x^{2}}$ de $- 6 x^{2} e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 x^{4} e^{- x^{2}} - 10 x^{2} e^{- x^{2}} + 2 e^{- x^{2}}$

Étape 2.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 4 e^{- x^{2}} x^{4} - 10 e^{- x^{2}} x^{2} + 2 e^{- x^{2}}$

Étape 2.4.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $4 e^{- x^{2}} x^{4} - 10 e^{- x^{2}} x^{2} + 2 e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 x^{4} e^{- x^{2}} - 10 x^{2} e^{- x^{2}} + 2 e^{- x^{2}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{2}$ .

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Étape 4.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x^{2}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x^{2}$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.3

Différenciez.

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.4.1

Déplacez $x$ .

$x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 4.1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{1 + 2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.5

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- x^{2}}$ .

$x^{3} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)$

Étape 4.1.7

Simplifiez

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Étape 4.1.7.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 e^{- x^{2}} x^{3} + 2 e^{- x^{2}} x$

Étape 4.1.7.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 2 e^{- x^{2}} x^{3} + 2 e^{- x^{2}} x$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}}$ .

$- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}} = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Factorisez $2 x e^{- x^{2}}$ à partir de $- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}}$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $2 x e^{- x^{2}}$ à partir de $- 2 x^{3} e^{- x^{2}}$ .

$2 x e^{- x^{2}} (- x^{2}) + 2 x e^{- x^{2}} = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $2 x e^{- x^{2}}$ à partir de $2 x e^{- x^{2}}$ .

$2 x e^{- x^{2}} (- x^{2}) + 2 x e^{- x^{2}} (1) = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $2 x e^{- x^{2}}$ à partir de $2 x e^{- x^{2}} (- x^{2}) + 2 x e^{- x^{2}} (1)$ .

$2 x e^{- x^{2}} (- x^{2} + 1) = 0$

Étape 5.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$2 x e^{- x^{2}} (- x^{2} + 1^{2}) = 0$

Étape 5.2.3

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $1^{2}$ .

$2 x e^{- x^{2}} (1^{2} - x^{2}) = 0$

Étape 5.2.4

Factorisez.

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Étape 5.2.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$2 x e^{- x^{2}} ((1 + x) (1 - x)) = 0$

Étape 5.2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 x e^{- x^{2}} (1 + x) (1 - x) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$e^{- x^{2}} = 0$

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Étape 5.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $e^{- x^{2}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $e^{- x^{2}}$ égal à $0$ .

$e^{- x^{2}} = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $e^{- x^{2}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- x^{2}}) = \ln (0)$

Étape 5.5.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 5.5.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- x^{2}} = 0$

Aucune solution

Étape 5.6

Définissez $1 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.6.1

Définissez $1 + x$ égal à $0$ .

$1 + x = 0$

Étape 5.6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 5.7

Définissez $1 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.7.1

Définissez $1 - x$ égal à $0$ .

$1 - x = 0$

Étape 5.7.2

Résolvez $1 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.7.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 1$

Étape 5.7.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 5.7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.7.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 5.7.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 5.7.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.7.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1$

Étape 5.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x e^{- x^{2}} (1 + x) (1 - x) = 0$ vraie.

$x = 0, - 1, 1$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, - 1, 1$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$4 {(0)}^{4} e^{- {(0)}^{2}} - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 \cdot 0 e^{- {(0)}^{2}} - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Étape 9.1.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$0 e^{- {(0)}^{2}} - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Étape 9.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 e^{- 0} - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Étape 9.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 e^{0} - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Étape 9.1.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 \cdot 1 - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Étape 9.1.6

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Étape 9.1.7

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 10 \cdot 0 e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Étape 9.1.8

Multipliez $- 10$ par $0$ .

$0 + 0 e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Étape 9.1.9

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 0 e^{- 0} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Étape 9.1.10

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Étape 9.1.11

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Étape 9.1.12

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 + 0 + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Étape 9.1.13

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 0 + 2 e^{- 0}$

Étape 9.1.14

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + 0 + 2 e^{0}$

Étape 9.1.15

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 + 0 + 2 \cdot 1$

Étape 9.1.16

Multipliez $2$ par $1$ .

$0 + 0 + 2$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 9.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 2$

Étape 9.2.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$2$

Étape 10

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 e^{- {(0)}^{2}}$

Étape 11.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 e^{- 0}$

Étape 11.2.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = 0 e^{0}$

Étape 11.2.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f (0) = 0 \cdot 1$

Étape 11.2.5

Multipliez $0$ par $1$ .

$f (0) = 0$

Étape 11.2.6

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$4 {(- 1)}^{4} e^{- {(- 1)}^{2}} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$4 \cdot 1 e^{- {(- 1)}^{2}} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Étape 13.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 e^{- {(- 1)}^{2}} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Étape 13.1.3

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.1.3.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ .

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Étape 13.1.3.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$4 e^{{(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Étape 13.1.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 e^{{(- 1)}^{1 + 2}} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Étape 13.1.3.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$4 e^{{(- 1)}^{3}} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Étape 13.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$4 e^{- 1} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Étape 13.1.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{e} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Étape 13.1.6

Associez $4$ et $\frac{1}{e}$ .

$\frac{4}{e} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Étape 13.1.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{4}{e} - 10 \cdot 1 e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Étape 13.1.8

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$\frac{4}{e} - 10 e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Étape 13.1.9

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.1.9.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ .

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Étape 13.1.9.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{4}{e} - 10 e^{{(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Étape 13.1.9.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4}{e} - 10 e^{{(- 1)}^{1 + 2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Étape 13.1.9.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{4}{e} - 10 e^{{(- 1)}^{3}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Étape 13.1.10

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{4}{e} - 10 e^{- 1} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Étape 13.1.11

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e} - 10 \frac{1}{e} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Étape 13.1.12

Associez $- 10$ et $\frac{1}{e}$ .

$\frac{4}{e} + \frac{- 10}{e} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Étape 13.1.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Étape 13.1.14

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.1.14.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ .

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Étape 13.1.14.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{{(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}}$

Étape 13.1.14.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{{(- 1)}^{1 + 2}}$

Étape 13.1.14.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{{(- 1)}^{3}}$

Étape 13.1.15

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{- 1}$

Étape 13.1.16

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 \frac{1}{e}$

Étape 13.1.17

Associez $2$ et $\frac{1}{e}$ .

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + \frac{2}{e}$

Étape 13.2

Associez les fractions.

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Étape 13.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 - 10 + 2}{e}$

Étape 13.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 13.2.2.1

Soustrayez $10$ de $4$ .

$\frac{- 6 + 2}{e}$

Étape 13.2.2.2

Additionnez $- 6$ et $2$ .

$\frac{- 4}{e}$

Étape 13.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{e}$

Étape 14

$x = - 1$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 1$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - 1$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- 1) = 1 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Étape 15.2.2

Multipliez $e^{- {(- 1)}^{2}}$ par $1$ .

$f (- 1) = e^{- {(- 1)}^{2}}$

Étape 15.2.3

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 15.2.3.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ .

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Étape 15.2.3.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- 1) = e^{{(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}}$

Étape 15.2.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- 1) = e^{{(- 1)}^{1 + 2}}$

Étape 15.2.3.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (- 1) = e^{{(- 1)}^{3}}$

Étape 15.2.4

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- 1) = e^{- 1}$

Étape 15.2.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{e}$

Étape 15.2.6

La réponse finale est $\frac{1}{e}$ .

$y = \frac{1}{e}$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$4 {(1)}^{4} e^{- {(1)}^{2}} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 \cdot 1 e^{- {(1)}^{2}} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Étape 17.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 e^{- {(1)}^{2}} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Étape 17.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 e^{- 1 \cdot 1} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Étape 17.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4 e^{- 1} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Étape 17.1.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{e} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Étape 17.1.6

Associez $4$ et $\frac{1}{e}$ .

$\frac{4}{e} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Étape 17.1.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{4}{e} - 10 \cdot 1 e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Étape 17.1.8

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$\frac{4}{e} - 10 e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Étape 17.1.9

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{4}{e} - 10 e^{- 1 \cdot 1} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Étape 17.1.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{4}{e} - 10 e^{- 1} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Étape 17.1.11

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e} - 10 \frac{1}{e} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Étape 17.1.12

Associez $- 10$ et $\frac{1}{e}$ .

$\frac{4}{e} + \frac{- 10}{e} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Étape 17.1.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Étape 17.1.14

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{- 1 \cdot 1}$

Étape 17.1.15

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{- 1}$

Étape 17.1.16

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 \frac{1}{e}$

Étape 17.1.17

Associez $2$ et $\frac{1}{e}$ .

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + \frac{2}{e}$

Étape 17.2

Associez les fractions.

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Étape 17.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 - 10 + 2}{e}$

Étape 17.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 17.2.2.1

Soustrayez $10$ de $4$ .

$\frac{- 6 + 2}{e}$

Étape 17.2.2.2

Additionnez $- 6$ et $2$ .

$\frac{- 4}{e}$

Étape 17.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{e}$

Étape 18

$x = 1$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un maximum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}}$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1 e^{- {(1)}^{2}}$

Étape 19.2.2

Multipliez $e^{- {(1)}^{2}}$ par $1$ .

$f (1) = e^{- {(1)}^{2}}$

Étape 19.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = e^{- 1 \cdot 1}$

Étape 19.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1) = e^{- 1}$

Étape 19.2.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (1) = \frac{1}{e}$

Étape 19.2.6

La réponse finale est $\frac{1}{e}$ .

$y = \frac{1}{e}$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{2} e^{- x^{2}}$ .

$(0, 0)$ est un minimum local

$(- 1, \frac{1}{e})$ est un maximum local

$(1, \frac{1}{e})$ est un maximum local

Étape 21