Calcul infinitésimal Exemples

$\int x (x^{2} + \frac{3}{x^{4}}) d x$

Étape 1

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int x \cdot x^{2} + x \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x^{1} x^{2} + x \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{1 + 2} + x \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 1.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\int x^{3} + x \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\int x^{3} + x \frac{3}{x \cdot x^{3}} d x$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\int x^{3} + x \frac{3}{x \cdot x^{3}} d x$

Étape 1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\int x^{3} + \frac{3}{x^{3}} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{3} d x + \int \frac{3}{x^{3}} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int \frac{3}{x^{3}} d x$

Étape 4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 3 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 3 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Étape 5.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 3 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Étape 5.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 3 \int x^{- 3} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Étape 7

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Étape 7.1

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Étape 7.1.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Étape 7.1.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Étape 7.2

Simplifiez

$\frac{1}{4} x^{4} + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Étape 7.3

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Étape 7.3.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{4} x^{4} - 3 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Étape 7.3.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + \frac{- 3}{2 x^{2}} + C$

Étape 7.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{4} x^{4} - \frac{3}{2 x^{2}} + C$