Calcul infinitésimal Exemples

$e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$

Étape 1

Écrivez $e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$ comme une fonction.

$f (x) = e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)}) d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez par $1$ .

$\int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x) \cdot 1}) d x$

Étape 4.1.2

Séparez les fractions.

$\int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}) d x$

Étape 4.1.3

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ à $\sec^{2} (x)$ .

$\int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{1} \sec^{2} (x)) d x$

Étape 4.1.4

Divisez $e^{- x}$ par $1$ .

$\int e^{x} (2 + e^{- x} \sec^{2} (x)) d x$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int e^{x} \cdot 2 + e^{x} (e^{- x} \sec^{2} (x)) d x$

Étape 4.3

Déplacez $2$ à gauche de $e^{x}$ .

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{x} (e^{- x} \sec^{2} (x)) d x$

Étape 4.4

Multipliez $e^{x}$ par $e^{- x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.1

Déplacez $e^{- x}$ .

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{- x} e^{x} \sec^{2} (x) d x$

Étape 4.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{- x + x} \sec^{2} (x) d x$

Étape 4.4.3

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{0} \sec^{2} (x) d x$

Étape 4.5

Simplifiez $e^{0} \sec^{2} (x)$ .

$\int 2 e^{x} + \sec^{2} (x) d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 e^{x} d x + \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int e^{x} d x + \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 7

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$2 (e^{x} + C) + \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 8

Comme la dérivée de $\tan (x)$ est $\sec^{2} (x)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (x)$ est $\tan (x)$ .

$2 (e^{x} + C) + \tan (x) + C$

Étape 9

Simplifiez

$2 e^{x} + \tan (x) + C$

Étape 10

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$ .

$F (x) =$ $2 e^{x} + \tan (x) + C$