Calcul infinitésimal Exemples

${(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2}$

Étape 1

Écrivez ${(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = {(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int {(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2} d x$

Étape 4

Appliquez la règle de produit à $\frac{x^{2} + 1}{x}$ .

$\int \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Étape 5

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(x^{2} + 1)}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 6

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(x^{2} + 1)}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int {(x^{2} + 1)}^{2} x^{- 2} d x$

$\int {(x^{2} + 1)}^{2} x^{- 2} d x$

Étape 7

Développez ${(x^{2} + 1)}^{2} x^{- 2}$ .

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Étape 7.1

Réécrivez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ comme $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$\int (x^{2} + 1) (x^{2} + 1) x^{- 2} d x$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x^{- 2} d x$

Étape 7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x^{- 2} d x$

Étape 7.4

Appliquez la propriété distributive.

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x^{- 2} d x$

Étape 7.5

Appliquez la propriété distributive.

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1) x^{- 2} + (1 x^{2} + 1 \cdot 1) x^{- 2} d x$

Étape 7.6

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + x^{2} \cdot 1 x^{- 2} + (1 x^{2} + 1 \cdot 1) x^{- 2} d x$

Étape 7.7

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + x^{2} \cdot 1 x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Étape 7.8

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $1$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Étape 7.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{2 + 2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Étape 7.10

Additionnez $2$ et $2$ .

$\int x^{4} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Étape 7.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{4 - 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Étape 7.12

Soustrayez $2$ de $4$ .

$\int x^{2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Étape 7.13

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\int x^{2} + x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Étape 7.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{2} + x^{2 - 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Étape 7.15

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\int x^{2} + x^{0} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Étape 7.16

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Étape 7.17

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\int x^{2} + 1 + x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Étape 7.18

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{2} + 1 + x^{2 - 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Étape 7.19

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\int x^{2} + 1 + x^{0} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Étape 7.20

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Étape 7.21

Multipliez $1$ par $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + 1 x^{- 2} d x$

Étape 7.22

Multipliez $x^{- 2}$ par $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + x^{- 2} d x$

Étape 7.23

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int x^{2} + 2 + x^{- 2} d x$

Étape 7.24

Remettez dans l’ordre $2$ et $x^{- 2}$ .

$\int x^{2} + x^{- 2} + 2 d x$

$\int x^{2} + x^{- 2} + 2 d x$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{2} d x + \int x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x^{- 1} + C + \int 2 d x$

Étape 11

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x^{- 1} + C + 2 x + C$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Simplifiez

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{x} + 2 x + C$

Étape 12.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x} + 2 x + C$

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x} + 2 x + C$

Étape 13

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = {(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x} + 2 x + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$