Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2} = 1$ , $(1, 0)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = 0$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.2.6

Déplacez $2$ à gauche de $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x y$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.3.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y' + y) + 2 x$

Étape 1.2.5

Simplifiez

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Étape 1.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y') - 2 y + 2 x$

Étape 1.2.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 x y' - 2 y + 2 x$

Étape 1.2.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 x y' + 2 x - 2 y$

Étape 1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 x y' + 2 x - 2 y = 0$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.5.1.1

Soustrayez $2 y^{2} x$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} y y' - 2 x y' + 2 x - 2 y = - 2 y^{2} x$

Étape 1.5.1.2

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} y y' - 2 x y' - 2 y = - 2 y^{2} x - 2 x$

Étape 1.5.1.3

Ajoutez $2 y$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} y y' - 2 x y' = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$

Étape 1.5.2

Factorisez $2 x y'$ à partir de $2 x^{2} y y' - 2 x y'$ .

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $2 x y'$ à partir de $2 x^{2} y y'$ .

$2 x y' (x y) - 2 x y' = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$

Étape 1.5.2.2

Factorisez $2 x y'$ à partir de $- 2 x y'$ .

$2 x y' (x y) + 2 x y' \cdot - 1 = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$

Étape 1.5.2.3

Factorisez $2 x y'$ à partir de $2 x y' (x y) + 2 x y' \cdot - 1$ .

$2 x y' (x y - 1) = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$

Étape 1.5.3

Divisez chaque terme dans $2 x y' (x y - 1) = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$ par $2 x (x y - 1)$ et simplifiez.

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Étape 1.5.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x y' (x y - 1) = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$ par $2 x (x y - 1)$ .

$\frac{2 x y' (x y - 1)}{2 x (x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x y' (x y - 1)}{2 x (x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y' (x y - 1)}{x (x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y' (x y - 1)}{x (x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Étape 1.5.3.2.3

Annulez le facteur commun de $x y - 1$ .

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Étape 1.5.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Étape 1.5.3.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Étape 1.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 1.5.3.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Étape 1.5.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.3.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x (x y - 1)$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x (x y - 1))} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Étape 1.5.3.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x (x y - 1))} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Étape 1.5.3.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y^{2} x}{x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Étape 1.5.3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.5.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{- y^{2} x}{x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Étape 1.5.3.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y^{2}}{x y - 1} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Étape 1.5.3.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Étape 1.5.3.3.1.4

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 1.5.3.3.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{2 (- x)}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Étape 1.5.3.3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.3.3.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x (x y - 1)$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{2 (- x)}{2 (x (x y - 1))} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Étape 1.5.3.3.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{2 (- x)}{2 (x (x y - 1))} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Étape 1.5.3.3.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{- x}{x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Étape 1.5.3.3.1.5

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.5.3.3.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{- x}{x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Étape 1.5.3.3.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{- 1}{x y - 1} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Étape 1.5.3.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} - \frac{1}{x y - 1} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Étape 1.5.3.3.1.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.3.3.1.7.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} - \frac{1}{x y - 1} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Étape 1.5.3.3.1.7.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} - \frac{1}{x y - 1} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

Étape 1.5.3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- y^{2} - 1}{x y - 1} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

Étape 1.5.3.3.3

Pour écrire $\frac{- y^{2} - 1}{x y - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{- y^{2} - 1}{x y - 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

Étape 1.5.3.3.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x y - 1) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.5.3.3.4.1

Multipliez $\frac{- y^{2} - 1}{x y - 1}$ par $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{(- y^{2} - 1) x}{(x y - 1) x} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

Étape 1.5.3.3.4.2

Réorganisez les facteurs de $(x y - 1) x$ .

$y' = \frac{(- y^{2} - 1) x}{x (x y - 1)} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

Étape 1.5.3.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{(- y^{2} - 1) x + y}{x (x y - 1)}$

Étape 1.5.3.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.3.3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$y' = \frac{- y^{2} x - 1 x + y}{x (x y - 1)}$

Étape 1.5.3.3.6.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y' = \frac{- y^{2} x - x + y}{x (x y - 1)}$

Étape 1.5.3.3.7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.5.3.3.7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- y^{2} x$ .

$y' = \frac{- (y^{2} x) - x + y}{x (x y - 1)}$

Étape 1.5.3.3.7.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$y' = \frac{- (y^{2} x) - (x) + y}{x (x y - 1)}$

Étape 1.5.3.3.7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y^{2} x) - (x)$ .

$y' = \frac{- (y^{2} x + x) + y}{x (x y - 1)}$

Étape 1.5.3.3.7.4

Factorisez $- 1$ à partir de $y$ .

$y' = \frac{- (y^{2} x + x) - 1 (- y)}{x (x y - 1)}$

Étape 1.5.3.3.7.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y^{2} x + x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- (y^{2} x + x - y)}{x (x y - 1)}$

Étape 1.5.3.3.7.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.5.3.3.7.6.1

Réécrivez $- (y^{2} x + x - y)$ comme $- 1 (y^{2} x + x - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (y^{2} x + x - y)}{x (x y - 1)}$

Étape 1.5.3.3.7.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y^{2} x + x - y}{x (x y - 1)}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} x + x - y}{x (x y - 1)}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 1$ sur $y = 0$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$- \frac{y^{2} (1) + 1 - y}{(1) ((1) \cdot y - 1)}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $0$ dans l’expression.

$- \frac{{(0)}^{2} (1) + 1 - (0)}{(1) ((1) \cdot (0) - 1)}$

Étape 1.7.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{0 \cdot 1 + 1 - (0)}{1 ((1) \cdot (0) - 1)}$

Étape 1.7.3.2

Multipliez $0$ par $1$ .

$- \frac{0 + 1 - (0)}{1 ((1) \cdot (0) - 1)}$

Étape 1.7.3.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- \frac{0 + 1 + 0}{1 ((1) \cdot (0) - 1)}$

Étape 1.7.3.4

Additionnez $0 + 1$ et $0$ .

$- \frac{0 + 1}{1 ((1) \cdot (0) - 1)}$

Étape 1.7.3.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$- \frac{1}{1 ((1) \cdot (0) - 1)}$

Étape 1.7.4

Multipliez $(1) \cdot (0) - 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{(1) \cdot (0) - 1}$

Étape 1.7.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.7.5.1

Multipliez $0$ par $1$ .

$- \frac{1}{0 - 1}$

Étape 1.7.5.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- \frac{1}{- 1}$

Étape 1.7.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.7.6.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$- - 1$

Étape 1.7.6.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $1$ et un point donné, tel que $(1, 0)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 1 \cdot (x - (1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 0 = 1 \cdot (x - 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Additionnez $y$ et $0$ .

$y = 1 \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.2

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$y = x - 1$

Étape 3