Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{8 (x^{4} - 9)}{x^{2} - 3}$

Étape 1

Placez le terme $8$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{x^{4} - 9}{x^{2} - 3}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$8 \frac{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{4} - 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \sqrt{3}$ .

$8 \frac{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{4} - lim_{x \to - \sqrt{3}} 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Étape 2.1.2.1.2

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$8 \frac{{(lim_{x \to - \sqrt{3}} x)}^{4} - lim_{x \to - \sqrt{3}} 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Étape 2.1.2.1.3

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \sqrt{3}$ .

$8 \frac{{(lim_{x \to - \sqrt{3}} x)}^{4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- \sqrt{3}$ pour $x$ .

$8 \frac{{(- \sqrt{3})}^{4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$8 \frac{{(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Étape 2.1.2.3.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$8 \frac{1 {\sqrt{3}}^{4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Étape 2.1.2.3.1.3

Multipliez ${\sqrt{3}}^{4}$ par $1$ .

$8 \frac{{\sqrt{3}}^{4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Étape 2.1.2.3.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{4}$ comme $3^{2}$ .

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Étape 2.1.2.3.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Étape 2.1.2.3.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Étape 2.1.2.3.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$8 \frac{3^{\frac{4}{2}} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Étape 2.1.2.3.1.4.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.1.2.3.1.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$8 \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Étape 2.1.2.3.1.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.3.1.4.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$8 \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Étape 2.1.2.3.1.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$8 \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Étape 2.1.2.3.1.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$8 \frac{3^{\frac{2}{1}} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Étape 2.1.2.3.1.4.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$8 \frac{3^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Étape 2.1.2.3.1.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$8 \frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Étape 2.1.2.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$8 \frac{9 - 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Étape 2.1.2.3.2

Soustrayez $9$ de $9$ .

$8 \frac{0}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \sqrt{3}$ .

$8 \frac{0}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - lim_{x \to - \sqrt{3}} 3}$

Étape 2.1.3.1.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$8 \frac{0}{{(lim_{x \to - \sqrt{3}} x)}^{2} - lim_{x \to - \sqrt{3}} 3}$

Étape 2.1.3.1.3

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \sqrt{3}$ .

$8 \frac{0}{{(lim_{x \to - \sqrt{3}} x)}^{2} - 1 \cdot 3}$

Étape 2.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- \sqrt{3}$ pour $x$ .

$8 \frac{0}{{(- \sqrt{3})}^{2} - 1 \cdot 3}$

Étape 2.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$8 \frac{0}{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 1 \cdot 3}$

Étape 2.1.3.3.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$8 \frac{0}{1 {\sqrt{3}}^{2} - 1 \cdot 3}$

Étape 2.1.3.3.1.3

Multipliez ${\sqrt{3}}^{2}$ par $1$ .

$8 \frac{0}{{\sqrt{3}}^{2} - 1 \cdot 3}$

Étape 2.1.3.3.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.1.3.3.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \frac{0}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1 \cdot 3}$

Étape 2.1.3.3.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{0}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1 \cdot 3}$

Étape 2.1.3.3.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$8 \frac{0}{3^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 3}$

Étape 2.1.3.3.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.3.3.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$8 \frac{0}{3^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 3}$

Étape 2.1.3.3.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$8 \frac{0}{3^{1} - 1 \cdot 3}$

Étape 2.1.3.3.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$8 \frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Étape 2.1.3.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$8 \frac{0}{3 - 3}$

Étape 2.1.3.3.2

Soustrayez $3$ de $3$ .

$8 (\frac{0}{0})$

Étape 2.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$8 (\frac{0}{0})$

Étape 2.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$8 (\frac{0}{0})$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$8 (\frac{0}{0})$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{x^{4} - 9}{x^{2} - 3} = lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 9]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 9]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}$

Étape 2.3.4

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}$

Étape 2.3.5

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}$

Étape 2.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 2.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 2.3.8

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3}}{2 x + 0}$

Étape 2.3.9

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3}}{2 x}$

Étape 2.4

Réduisez.

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Étape 2.4.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{3}$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 \cdot 2 x^{3}}{2 x}$

Étape 2.4.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 \cdot 2 x^{3}}{2 (x)}$

Étape 2.4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 \cdot 2 x^{3}}{2 x}$

Étape 2.4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 x^{3}}{x}$

Étape 2.4.2

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{3}$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{x \cdot 2 x^{2}}{x}$

Étape 2.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{x \cdot 2 x^{2}}{x^{1}}$

Étape 2.4.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{x \cdot 2 x^{2}}{x \cdot 1}$

Étape 2.4.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{x \cdot 2 x^{2}}{x \cdot 1}$

Étape 2.4.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 x^{2}}{1}$

Étape 2.4.2.2.5

Divisez $2 x^{2}$ par $1$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} 2 x^{2}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$8 \cdot 2 lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2}$

Étape 3.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$8 \cdot 2 {(lim_{x \to - \sqrt{3}} x)}^{2}$

Étape 4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- \sqrt{3}$ pour $x$ .

$8 \cdot 2 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Multipliez $8$ par $2$ .

$16 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Étape 5.2

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$16 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2})$

Étape 5.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$16 (1 {\sqrt{3}}^{2})$

Étape 5.4

Multipliez ${\sqrt{3}}^{2}$ par $1$ .

$16 {\sqrt{3}}^{2}$

Étape 5.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 5.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 5.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 5.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Étape 5.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Étape 5.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$16 \cdot 3^{1}$

Étape 5.5.5

Évaluez l’exposant.

$16 \cdot 3$

Étape 5.6

Multipliez $16$ par $3$ .

$48$