Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \cot (- \frac{2 \sqrt{3} x}{π} + \csc (x) - \frac{π}{4})$

Étape 1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la cotangente est continue.

$\cot (lim_{x \to \frac{π}{3}} - \frac{2 \sqrt{3} x}{π} + \csc (x) - \frac{π}{4})$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{3}$ .

$\cot (- lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sqrt{3} x}{π} + lim_{x \to \frac{π}{3}} \csc (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{π}{4})$

Étape 3

Placez le terme $\frac{2 \sqrt{3}}{π}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\cot (- (\frac{2 \sqrt{3}}{π} lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} \csc (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{π}{4})$

Étape 4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la cosécante est continue.

$\cot (- (\frac{2 \sqrt{3}}{π} lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + \csc (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{π}{4})$

Étape 5

Évaluez la limite de $\frac{π}{4}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{3}$ .

$\cot (- (\frac{2 \sqrt{3}}{π} lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + \csc (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - \frac{π}{4})$

Étape 6

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{3}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{3}$ pour $x$ .

$\cot (- (\frac{2 \sqrt{3}}{π} \cdot \frac{π}{3}) + \csc (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - \frac{π}{4})$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{3}$ pour $x$ .

$\cot (- (\frac{2 \sqrt{3}}{π} \cdot \frac{π}{3}) + \csc (\frac{π}{3}) - \frac{π}{4})$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 7.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\cot (- (\frac{2 \sqrt{3}}{π} \cdot \frac{π}{3}) + \csc (\frac{π}{3}) - \frac{π}{4})$

Étape 7.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\cot (- (2 \sqrt{3} \frac{1}{3}) + \csc (\frac{π}{3}) - \frac{π}{4})$

Étape 7.1.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $2$ .

$\cot (- (\frac{2}{3} \sqrt{3}) + \csc (\frac{π}{3}) - \frac{π}{4})$

Étape 7.1.3

Associez $\frac{2}{3}$ et $\sqrt{3}$ .

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \csc (\frac{π}{3}) - \frac{π}{4})$

Étape 7.1.4

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{3})$ est $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{π}{4})$

Étape 7.1.5

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} - \frac{π}{4})$

Étape 7.1.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.1.6.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} - \frac{π}{4})$

Étape 7.1.6.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} - \frac{π}{4})$

Étape 7.1.6.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} - \frac{π}{4})$

Étape 7.1.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} - \frac{π}{4})$

Étape 7.1.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} - \frac{π}{4})$

Étape 7.1.6.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 7.1.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \frac{π}{4})$

Étape 7.1.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \frac{π}{4})$

Étape 7.1.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} - \frac{π}{4})$

Étape 7.1.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} - \frac{π}{4})$

Étape 7.1.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} - \frac{π}{4})$

Étape 7.1.6.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{π}{4})$

Étape 7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\cot (\frac{- 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{3} + \frac{- π}{4})$

Étape 7.3

Additionnez $- 2 \sqrt{3}$ et $2 \sqrt{3}$ .

$\cot (\frac{0}{3} + \frac{- π}{4})$

Étape 7.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.4.1

Divisez $0$ par $3$ .

$\cot (0 + \frac{- π}{4})$

Étape 7.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cot (0 - \frac{π}{4})$

Étape 7.5

Soustrayez $\frac{π}{4}$ de $0$ .

$\cot (- \frac{π}{4})$

Étape 7.6

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\cot (\frac{7 π}{4})$

Étape 7.7

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la cotangente est négative dans le quatrième quadrant.

$- \cot (\frac{π}{4})$

Étape 7.8

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 7.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$